科學悖論

科學悖論通常是指這樣一種命題，按普遍認可的邏輯推理方式，可推導出兩個對立的結論，形式為：如果事件A發生，則推導出非A，非A發生則推導出A。 悖論是命題或推理中隱含的思維的不同層次、意義(內容)和表達方式(形式)、主觀和客觀、主體和客體、事實和價值的混淆，是思維內容與思維形式、思維主體與思維客體、思維層次與思維對象的不對稱，是思維結構、邏輯結構的不對稱。悖論根源於知性認識、知性邏輯(傳統邏輯)、矛盾邏輯的局限性。產生悖論的根本原因是把傳統邏輯形式化、把形式邏輯普適性絕對化，即把形式邏輯當做思維方式。所有悖論都是因形式邏輯思維方式產生，形式邏輯思維方式發現不了、解釋不了、解決不了的邏輯錯誤。所謂解悖，就是運用對稱邏輯思維方式發現、糾正悖論中的邏輯錯誤。

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目錄

無限類悖論

下面無限類悖論可區分為兩種類別： 謬誤悖論（falsidical paradox） ，是由於有謬誤的推理過程產生的，歸類於謬誤。這個類別包括下面的阿基里斯悖論，二分法悖論，飛矢不動悖論。如果，推理過程採用微積分來處理「無限」，則不會推導出矛盾的悖論結果。 無矛盾的命題，也被稱為真實性悖論（veridical paradox）：其產生的結果看起來很荒謬，其推理過程和其結果都沒有問題，是無矛盾的命題。這個類別包括下面的，「點一樣多」，和希爾伯特旅館悖論。 阿基里斯悖論 稍晚於畢達哥拉斯的古希臘數學家芝諾（Zeno of Elea），曾經提出過一些著名的悖論，對以後數學、物理概念產生了重要影響，阿基里斯悖論是其中的一個。 阿基里斯（Achilles）是希臘神話中善跑的英雄。芝諾講：阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微領先於他的烏龜，因為當他要到達烏龜出發的那一點，烏龜又向前爬動了。阿基里斯和烏龜的距離可以無限地縮小，但永遠追不上烏龜。 方勵之先生曾經用物理語言描述過這個問題：在阿基里斯悖論中使用了兩種不同的時間度量。一般度量方法是：假設阿基里斯與烏龜在開始時的距離為S，速度分別為V1和V2。當時間T=S/（V1－V2）時，阿基里斯就趕上了烏龜。 但是芝諾的測量方法不同：阿基里斯將逐次到達烏龜在前一次的出發點，這個時間為T'。對於任何T'，可能無限縮短，但阿基里斯永遠在烏龜的後面。關鍵是這個T'無法度量T=S/（V1－V2）以後的時間 。 二分法悖論 二分法悖論是芝諾提出的一個悖論：當一個物體行進一段距離到達D，它必須首先到達距離D的二分之一，然後是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以無窮地劃分下去。因此，這個物體永遠也到達不了D。 這些結論在實踐中不存在，但是在邏輯上無可挑剔。 芝諾甚至認為：「不可能有從一地到另一地的運動，因為如果有這樣的運動，就會有『完善的無限』，而這是不可能的。」如果阿基里斯事實上在T時追上了烏龜，那麼，「這是一種不合邏輯的現象，因而決不是真理，而僅僅是一種欺騙」。這就是說感官是不可靠的，沒有邏輯可靠。 他認為：「窮盡無限是絕對不可能的」。根據這個運動理論，芝諾還提出了一個類似的運動佯謬： 飛矢不動 飛矢不動是芝諾提出的一個悖論。在芝諾看來，由于飛箭在其飛行的每個瞬間都有一個瞬時的位置，它在這個位置上和不動沒有什麼區別。那麼，無限個靜止位置的總和就等於運動了嗎？或者無限重複的靜止就是運動？中國古代也有類似的說法，如： 這是《[[]]莊子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中國古人同樣運用了無限的概念。 戰國名家宋國人惠施（約公元前370—前310）曾任梁國的宰相，論辯奇才，是莊子的朋友，和公孫龍並列為名家的代表人物。他的著作多已亡佚，只能從其他諸家的論述中看到他的言行片段。 惠施的學說強調萬物的共相，因而事物之間的差異只是一種相對的概念，現存與惠施有關的奇怪命題，例如，「山與澤平」、「卵有毛」、「雞三足」、「犬可以為牛」、「火不熱」、「矩不方」、「白狗黑」、「孤駒未嘗有母」等，都可以說是悖論，但是大部份沒有留下具體的爭辯過程。惠施的悖論在西方也很有影響。 毛澤東從辯證法的角度基本接受惠施無限可分的觀點。1964年8月18日，他同哲學工作者談話時說：「列寧講過，凡事可分。舉原子為例，不但原子可分，電子也可分。」又說：「電子本身到現在還沒有分裂，總有一天能分裂的。『一尺之捶，日取其半，萬世不竭』，這是個真理。不信，就試試看。如果有竭就沒有科學了。」 有人注意到，毛澤東十分偏愛這句話，如50年代中期對核物理學家錢三強，1964年8月同周培源、于光遠，1973年、1974年接見楊振寧、李政道，等等，都提到這句話。 點一樣多 點一樣多悖論：「1厘米線段內的點與太平洋面上的點一樣多。」 多少哲學家、數學家都唯恐陷入悖論而退避三舍。23歲獲博士學位的德國數學家康托爾（1845—1918）六年以後向無窮宣戰。他成功地證明了：一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應，也能和空間中的點一一對應。由於無限，1厘米長的線段內的點，與太平洋面上的點，以及整個地球內部的點都「一樣多」。 然而，康托爾的「無窮集合」與傳統的數學觀念發生衝突，遭到謾罵。直到1897年第一次國際數學家會議，他的成果才得到承認，幾乎全部數學都以集合論為基礎。羅素稱讚他的工作「可能是這個時代所能誇耀的最巨大的工作」。 在康托爾的理論被認可的基礎上，「1厘米線段內的點與太平洋面上的點一樣多」的命題不再是悖論，而是一個無矛盾的命題，也被稱為真實性悖論（veridical paradox） 。 希爾伯特旅館悖論 見百科條目：希爾伯特旅館悖論。這實際是一個無矛盾的命題，也被稱為真實性悖論（veridical paradox）。

定義

按《斯坦福哲學百科全書》「悖論」條目的定義，悖論 通常是指這樣一種命題，按普遍認可的邏輯推理方式，推導的結論超出「通常可接受的見解」。或者說結論是有矛盾的。 悖論是表面上同一命題或推理中隱含着兩個對立的結論，而這兩個結論都能自圓其說。悖論的抽象公式就是：如果事件A發生，則推導出非A，非A發生則推導出A。 悖論除了按上述的定義外，20世紀最有影響的美國哲學家、邏輯學家之一威拉德·范奧曼·蒯因（Willard Van Orman Quine）還區分出下面兩種情況： 謬誤悖論 謬誤悖論（falsidical paradox）：其推理過程是有謬誤的，但據此確立的命題不但似乎是荒謬的，而且確實是錯誤的，歸類於謬誤。 對於有些涉及無限的古典悖論，如芝諾悖論中的「阿基里斯悖論和飛矢不動悖論，儘管可以看出其謬誤（既：應該用微積分來處理「無限」），但其邏輯推理方式在當時是基本被認可的，所以在當時是可以稱為悖論。但是，微積分出現以後，可以看出芝諾悖論的推理中用有謬誤的推理過程，應該歸類於謬誤。 真實性悖論 真實性悖論（veridical paradox）：是一個無矛盾的命題。其產生的結果看起來很荒謬，但事實證明是正確的。其推理過程和其結果都沒有問題，不是真正的悖論。如，希爾伯特旅館悖論。

悖論研究的意義和影響

在19世紀末至20世紀初，邏輯和數學的基礎受到許多困難（所謂的悖論）的發現的影響，特別是經典集合論中被發現有自相矛盾的現象，尤其是羅素悖論 ，以極為簡明的形式震撼了數學的基礎，這就是「第三次數學危機」。這些難題涉及基本概念以及定義和推理的基本方法，這些以前通常被認為是沒有問題的。 悖論在當代邏輯中獲得了新的作用，它們導致了新定理的發現（通常是負面的結果，例如不可證明性和不可判定性）。邏輯的幾個基本概念發展過程，之所以已經到了目前的狀態，通常是得益於解決悖論的各種嘗試。對於集合（set）和類（collection）的概念，標準古典邏輯的基本句法和語義概念（給定順序的邏輯語言，可滿足性，可定義性的概念）出現而言，尤其如此。 研究悖論解決方案的副產品包括：集合論的公理化，類型論的系統發展，語義學的基礎，形式系統的理論。

悖論類型

古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數學的基礎，激發了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。根據悖論形成的原因，把它歸納為六種類型，所記都是流傳很廣的常見悖論。隨着現代數學、邏輯學、物理學和天文學的快速發展，又有不少新的悖論大量湧現，人們在孜孜不倦地探索，預計他們的成果將極大地改變我們的思維觀念。

自指類悖論

以下諸例都存在着一個概念自指或自相關的問題：如果從肯定命題入手，就會得到它的否定命題；如果從否定命題入手，就會得到它的肯定命題。由概念自指引發的悖論和引進無限帶來的悖論。 自指類悖論例子都說明，在邏輯上它們都無法擺脫概念自指所帶來的惡性循環。針對這種惡性循環，羅素提出了一種解決辦法，並稱之為惡性循環原則（Vicious-Circle Principle） ，其細節可參見百科惡性循環原則條目。 自指類悖論進一步的解決方法可參見《斯坦福哲學百科全書》自指相關（Self-Reference）條目的第三章 。 謊言者悖論 謊言者悖論 又稱為說謊者悖論。公元前六世紀，哲學家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）：「所有克利特人都說謊，他們中間的一個詩人這麼說。」這就是這個著名悖論的來源。 《聖經》里曾經提到：「有克利特人中的一個本地中先知說：『克利特人常說謊話，乃是惡獸，又饞又懶』」（《提多書》第一章）。可見這個悖論很出名，但是保羅對於它的邏輯解答並沒有興趣。 我在說謊 如果他在說謊，那麼「我在說謊」就是一個謊，因此他說的是實話；但是如果這是實話，他又在說謊。矛盾不可避免。它的一個翻版： 這句話是錯的 這句話是錯的如果是事實，那麼這句話就是對的，但是它是對的，就與所說的這句話是錯的事實（開始設定的）不符。這句話是錯的如果是假的，那麼這句話就是對的，但這句話如果是對的，那麼假設的這句話是錯的假的結論就被推翻，也矛盾了。這類悖論的一個標準形式是：如果事件A發生，則推導出非A，非A發生則推導出A，這是一個自相矛盾的無限邏輯循環。 解悖研究 哲學家羅素曾經認真地思考過這個悖論，並試圖找到解決的辦法。他在《我的哲學的發展》第七章《數學原理》里說道：「自亞里士多德以來，無論哪一個學派的邏輯學家，從他們所公認的前提中似乎都可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病的，但是指不出糾正的方法是什麼。在1903年的春季，其中一種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。」 他說：謊言者悖論最簡單地勾畫出了他發現的那個矛盾：「那個說謊的人說：『不論我說什麼都是假的』。事實上，這就是他所說的一句話，但是這句話是指他所說的話的總體。只是把這句話包括在那個總體之中的時候才產生一個悖論。」（同上） 羅素試圖用命題分層的辦法來解決：「第一級命題我們可以說就是不涉及命題總體的那些命題；第二級命題就是涉及第一級命題的總體的那些命題；其餘仿此，以至無窮。」但是這一方法並沒有取得成效。「1903年和1904年這一整個時期，我差不多完全是致力於這一件事，但是毫不成功。」（同上） 《數學原理》嘗試整個純粹的數學是在純邏輯的前提下推導出來的，並且使用邏輯術語說明概念，迴避自然語言的歧意。但是他在書的序言裡稱這是：「發表一本包含那麼許多未曾解決的爭論的書。」可見，從數學基礎的邏輯上徹底地解決這個悖論並不容易。 接下來他指出，在一切邏輯的悖論里都有一種「反身的自指」，就是說，「它包含講那個總體的某種東西，而這種東西又是總體中的一份子。」這一觀點比較容易理解，如果這個悖論是克利特以外的什麼人說的，悖論就會自動消除。但是在集合論里，問題並不這麼簡單。 理髮師悖論 在薩維爾村，理髮師掛出一塊招牌：「我只給村里所有那些不給自己理髮的人理髮。」有人問他：「你給不給自己理髮？」理髮師頓時無言以對。 這是一個矛盾推理：如果理髮師不給自己理髮，他就屬於招牌上的那一類人。有言在先，他應該給自己理髮。反之，如果這個理髮師給他自己理髮，根據招牌所言，他只給村中不給自己理髮的人理髮，他不能給自己理髮。 因此，無論這個理髮師怎麼回答，都不能排除內在的矛盾。這是集合論悖論的通俗的、有故事情節的表述。顯然，這裡也存在着一個不可排除的「自指」問題。 羅素悖論 命題「R是所有不包含自身的集合的集合」被稱為集合論悖論，這個悖論是羅素在1902年提出來的，所以又叫羅素悖論。 人們同樣會問：「R包含不包含R自身？」如果不包含，由R的定義，R應屬於R。如果R包含自身的話，R又不屬於R。 繼羅素的集合論悖論發現了數學基礎有問題以後，1931年歌德爾（Kurt Godel，1906—1978，捷克人）提出了一個「不完全定理」，打破了19世紀末數學家「所有的數學體系都可以由邏輯推導出來」的理想。這個定理指出：任何公設系統都不是完備的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命題。例如，歐氏幾何中的「平行線公理」，對它的否定產生了幾種非歐幾何；羅素悖論也表明集合論公理體系不完備。 書目悖論 一個圖書館編纂了一本書名詞典，它列出且只列出這個圖書館裡所有不列出自己書名的書。那麼它列不列出自己的書名？ 這個悖論與理髮師悖論基本一致。 蘇格拉底悖論 有「西方孔子」之稱的雅典人蘇格拉底（Socrates，公元前470—前399）是古希臘的大哲學家，曾經與普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名詭辯家相對。他建立「定義」以對付詭辯派混淆的修辭，從而勘落了百家的雜說。但是他的道德觀念不為希臘人所容，竟在七十歲的時候被當作詭辯雜說的代表。在普洛特哥拉斯被驅逐、書被焚十二年以後，蘇格拉底也被處以死刑，但是他的學說得到了柏拉圖和亞里士多德的繼承。 蘇格拉底有一句名言：「我只知道一件事，那就是什麼都不知道。」 這是一個悖論，我們無法從這句話中推論出蘇格拉底是否對這件事本身也不知道。 言盡悖 「言盡悖」是《莊子·齊物論》里莊子說的。後期墨家反駁道：如果「言盡悖」，莊子的這個言難道就不悖嗎。 世界上沒有絕對的真理 我們常說：世界上沒有絕對的真理。我們不知道這句話本身是不是「絕對的真理」。 柏拉圖-蘇格拉底悖論 柏拉圖（Platon，Πλάτων，約前427年—前347年），古希臘偉大的哲學家，也是全部西方哲學乃至整個西方文化最偉大的哲學家和思想家之一，他和老師蘇格拉底，學生亞里士多德並稱為古希臘三大哲學家。 柏拉圖說：「蘇格拉底的下句話是錯誤的」。 蘇格拉底說：「柏拉圖說得對。」 不論你假定哪個句子是真的，另一個句子都會與之矛盾。兩個句子都不是自我詮釋，但作為一個整體，同樣構成了說謊者悖論。 荒謬的真實 有字典給悖論下定義，說它是「荒謬的真實」，而這種矛盾修飾本身也是一種「壓縮的悖論」。悖論（paradox）來自希臘語「para+dokein」，意思是「多想一想」。 柯里悖論 對於這樣一個條件語句C：「若C，則F」，只需要一些顯然無害的邏輯推導規則，就可以推導出：僅從句子C的存在就證明了任意主張F。由於F是任意的，因此遵循這些邏輯規則的任何邏輯系統都可以證明所有命題，這就引起矛盾， 違反了經典邏輯的無矛盾律；因此，這是一個悖論。柯里悖論（Curry's paradox）由美國數理邏輯學家哈斯凱爾·布魯克·柯里在1942年提出，並且以其命名。柯里悖論可以像羅素悖論一樣，以邏輯悖論的形式出現，但它也可以是類似於說謊者悖論的語義悖論的形式出現。

模糊類悖論

模糊類悖論的呈現依賴於用含混的概念進行推理，所得到的的結論也是含混的，可以歸類於為推理謬誤，並不是真正的悖論，是屬於謬誤悖論（falsidical paradox）。 連鎖悖論 連鎖悖論（sorites paradox） 是古希臘麥加拉學派歐布里德和阿萊克西努提出的一系列疑難中的一種。指一個微小量的連續相加或相減，最後達到一個不同質的事物。這是由邏輯演繹與事實演變的差別而產生的形式思維矛盾。著名的例子有谷堆論證（也稱：谷堆悖論）和禿頭論證（也稱：禿頭悖論）。 谷堆論證：如果1粒穀子落地不能形成谷堆，2粒穀子落地不能形成谷堆，3粒穀子落地也不能形成谷堆，依此類推，無論多少粒穀子落地都不能形成谷堆。 由於多少粒穀子可被認為是谷堆是含混的概念，並沒有一個絕對的標準。連鎖悖論的存在主要依賴於一些含混的概念。概念的含混性為連鎖悖論的出現創造了條件，引起推理謬誤，是屬於謬誤悖論（falsidical paradox）。 忒修斯之船悖論 見百科條目：忒修斯之船悖論。