廣勾股定理

廣勾股定理:在任一三角形中，

(1)銳角對邊的平方，等於兩夾邊的平方和，減去某夾邊和另一夾邊在此邊上的投影乘積的兩倍.

(2)鈍角對邊的平方，等於兩夾邊的平方和，加上某夾邊與另一夾邊在此邊延長上的投影乘積的兩倍.

基本信息

中文名稱；廣勾股定理

拼音； guanggougudingli

別稱；餘弦定理

意義；反映直角三角形三邊間的度量關係

產生背景； (餘弦定理)

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的度量關係，即"斜邊的平方等於兩直角邊的平方之和".如果不是直角三角形，而是銳角或鈍角三角形，那麼它們的三邊之間存在怎樣的度量關係呢?這就涉及到廣勾股定理了.

在任一三角形中，

(1)銳角對邊的平方，等於兩夾邊的平方和，減去某夾邊和另一夾邊在此邊上的投影乘積的兩倍.

(2)鈍角對邊的平方，等於兩夾邊的平方和，加上某夾邊與另一夾邊在此邊延長上的投影乘積的兩倍.

設△ABC中，BC是銳角A的對邊(圖2-4).作CH⊥AB於H，

根據勾股定理:BC^2 = BH^2 + CH²

而 BH = AB-AH , CH^2 = AC^2 - AH^2

帶入後有:BC^2 = (AB-AH)^2 + AC^2 - AH^2

簡化後:BC^2 = AB^2 +AC^2 -2AB·AH 式(1)

鈍角時的證明如下，與上面有點類似:

BC^2 = BH^2 + CH^2

而BH=AB+AH,CH^2 = AC^2 - AH^2

同理:BC^2 = (AB+AH)^2 + AC^2 - AH^2

簡化後:BC^2 = AB^2 +AC^2 +2AB·AH

推廣(高中餘弦定理的導出):

設:CosA = AH/AC

則:AH = AC·CosA 代入式(1)則有:

BC^2 = AB^2 +AC^2 -2AB·AC·CosA^[1]