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自同构（automorphism）是指对于一个集合A，A中定义一个闭合运算○，存在一个A与A之间的映射φ ，若φ为一双射，且对于A内任意元素a,b都有φ（a○b）=φ（a）○φ（b）则这个映射φ 叫做一个对于○ 来说的A的自同构（automorphism）。

定义

在数学中，自同构（automorphism）是一个数学对象对其本身的一个同构。从某种意义上讲，是对对象本身的一种对称镜像，一种把对象映射到自身的同时保持其全部结构的一种方式。对象的所有自同构体构成一个集合，称为自同构群。或者笼统地称为该对象的对称群。

自同构的准确定义取决于问题里“数序对象”的类型，准确地讲，是什么构成了那个对象的“同构”。这些名词用的最多的是在一个称为范畴论的抽象数学分支。范畴论处理抽象对象以及这些对象之间的同态性。

在范畴论里，自同构就是自同态( 既一个对象对自身的同态）。其也是一个同构（以范畴论的术语来讲）。

在抽象代数里，一个数学对象是一个代数结构，比如群，环，向量空间。一个同构就是一个简单的双射同态 （ bijective homomorphism)。(一个同态的定义取决于代数结构的类型，比如群同态，环同态，线性算子）

单一同态（单一映射）在一些地方称为平常自同构。相应的，其他的（非单）的自同构称为非常自同构。

例子

例，设A={1，2，3}，代数运算○ 由下表决定：

那么

φ：A —> A

1 |—>2，2 |—>1，3 |—>3

因为对于任意a，b∈A，都有φ(a○b)=φ(a)○φ(b)；同样的道理也可以找出其他关于○的A的自同构。

自同构群

自同构群(group of automorphisms)重要的几何变换群，是几何学分类的依据，指群自身的映射所构成的群。群G的所有自同构在映射的合成运算下构成的一个群，称为群G的自同构群，常记为Aut(G)。

设S是给定的空间，U是S上的一个图形，若S到自身的一个变换g把U变到U自身，则称g是关于U的自同构变换，简称关于U的自同构。S上关于U的自同构变换的全体构成一个变换群，称它为关于U的自同构群。在变换中保持不变的这个图形U称为绝对形。例如，在射影平面上取一条直线作无穷远直线，则在射影平面上保持无穷远直线不变的自同构射影变换构成一个变换群，它是关于无穷远直线的自同构群，同时它也是二维射影变换群的子群，即仿射变换群。

不完全图的自同构

对于不完全图的自同构，就是两个相同不完全图的同构问题。以下举例说明。

例，求下图1所示有向图的全部自同构。

解，图1中的顶点对应分类分别为{a,c,e}，{b,d,f}。建立分层树如下图2所示。

按顶点的出度分层，由于所求的是图中顶点b,d,f分别与顶点b,d,f没有边连接，所以只取图1的邻接矩阵上半矩阵即可。图1的邻接矩阵为

由于{a,c,e}中的顶点只与中{a,c,e}的顶点对应，所以，图1 的同构映射最多只有6个。根据{a,c,e}的6种不同排列可得，

（1）单位映射是图1的同构映射，即

（2）由于

所以，得到图1 的同构映射

（3）由于

所以，得到图1 的同构映射

（4）由于

所以，得到图1 的同构映射

（5）由于

所以，得到图1 的同构映射

（6）由于

所以，得到图1 的同构映射

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