热传导方程查看源代码讨论查看历史
热传导方程（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。[1]
物理动机
热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：温度对三个空间坐标轴的二次导数；k是热扩散率，决定于材料的热传导率、密度与热容。
热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。
热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。
热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电势。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-Uhlenbeck过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。
就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
应用
热方程在许多现象的数学模型中出现，而且常在金融数学中作为期权的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以转成热方程，并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解，因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热方程可以用Crank-Nicolson法有效地求数值解，此方法也可用于许多无解析解的模型。
参见
偏微分方程
发展方程