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泰博定理
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中文名: 泰博定理外文名: Thébault's theorem 提出者: Victor Thébault（维克多泰博）应用学科: 数学适用领域: 几何学

泰博定理有三个，是由法国数学家维克多泰博根据不同情形的几何问题提出来的，分别被称为泰博定理I， II， III。

泰博定理I：取平行四边形的边为正方形的边，作四个正方形（同时在平行四边形内或外皆可）。正方形的中心点所组成的四边形为正方形（此为凡·奥贝尔定理的特例）。

泰博定理II：给定一个正方形，在正方形两条相邻边的内外构建两组等边三角形。然后，将远离两个三角形的正方形的顶点以及两个远离正方形的三角形的顶点连接起来，所构成的三角形是等边的。

泰博定理III：给定任意的三角形ABC以及BC上任意一点M，构建三角形ABC的内切圆和外接圆。然后构造另外两个圆，使得与AM，BC和（三角形ABC的）外接圆都相切。因此，这两个圆的圆心和（三角形ABC的）内切圆的圆心共线。

直到2003年，学术界认为泰博第三定理是最难证明的。此定理由荷兰数学家H. Streefkerk于1973年所证明并于1938年发表在美国数学月刊。但在2003年，Jean-Louis Ayme发现Y. Sawayama，一个在东京中央军事学校的辅导员，独立提出并在1905年解决了这个问题。

泰勒中值定理

函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内n+1阶可导，则至少存在一个 c∈(a,b).

泰勒中值定理又叫带拉格朗日余项

的泰勒公式。泰勒中值定理的定义只有一个函数，再结合拉格朗日余项这个名字，可以判断它不是柯西中值定理的扩展，而是拉格朗日中值定理的扩展。不过用三大中值定理都能证明它，我这里分别用罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理来证明。^[1]

三个证明方法都必须用这两个辅助函数。为了避免看花眼，先强调一下，函数的自变量只有x，除x之外的符号都是常数。

第一个辅助函数，多项式函数P(x)：怎么想到这个辅助函数的呢？其实很自然，就是把泰勒公式去掉余项。之所以构造它，是因为两个有用的性质，第一，在a点，P(x)和f(x)从0到n的各阶导数

都相等：

p(a) = f(a)

P'(a) = f'(a)

在物理学中，当需要用一个函数在附近一点的值来表示它在某一点的确切值时，泰勒定理便发挥了其作用。在物理中，线性近似通常就足够了，因为我们可以假设一个长度尺度，在这个尺度上，ε的二阶和更高阶是不相关的。