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| 泛函積分 |
無限維分析學的一個新分支。它起源於量子物理學中的連續積分和概率論中的隨機過程的樣本空間的研究。泛函積分方法已深入到分理化量子場論、基本粒子理論、隨機力學、馬爾可夫場、統計物理和湍流理論等領域。同時，泛函積分正在與群表示論、巴拿赫空間幾何學、微分方程論、隨機過程理論相互滲透。這一切都使它成為現代分析學中的一個令人矚目的學科。泛函積分的內容主要包括連續積分、柱測度、正定函數、擬不變測度理論等。
簡介
連續積分是指泛函沿着一類連續軌道的積分。1942年R.P.費因曼從最小作用量原理出發定義路徑積分,它給出量子力學的另一種等價的表達形式,後人稱為費因曼路徑積分，它已在量子物理中被愈來愈多地引用。為簡單起見，以有限個自由度的量子力學體系為例。通常這種體系的狀態用滿足薛定諤方程的復值的波函數Ψ描寫。（這裡Nn是規範因子）,然後將費因曼積分設想成當n→∞時上述積分的極限。但因為是隨着n的增大而劇烈振盪的函數,故上述的極限實際上是不存在的。但費因曼積分非常富有啟發性，許多物理學家運用這種路徑積分及按他們的物理設想所提出的一些計算法則能很好地說明量子物理中的許多問題，例如從量子力學到經典力學的過渡等。同時，在量子場論中也出現了大量的類似的沒有嚴格定義的連續積分。這就向數學家提出了建立路徑積分的嚴格的數學基礎的要求。它是泛函積分研究的重要課題之一。近40年中，人們利用解析開拓、廣義函數、復值測度和振盪積分等各種手段去進行研究，尚未解決。
評價
那麼，μ 是W0上關於φ 的拓撲連續的柱測度。從而W0是否成為樣本空間的問題等價於柱測度μ 在W0∩φ上具有可列可加性。1959年，P.A.明洛斯證明了下面的基本定理：設φ是核空間，則φ的共軛空間(連續線性泛函全體)φ┡上的任何一個關於φ 的拓撲連續的柱測度都是可列可加的。所以φ 上的每一個廣義隨機過程都以φ┡為樣本空間。1962年，夏道行證明，設B是具有基底{en,n≥1}的巴拿赫空間，φ是由{en,n≥1}張成的線性子空間,{en}是一列隨機變量，並依概率1成立 令依概率收斂}，則W上關於B的拓撲連續的柱測度是可列可加的。這個結果的重要性不但在於它是明洛斯定理的推廣而且在於它指出了柱測度可列可加性與巴拿赫空間結構的本質聯繫正定函數的表示問題和柱測度的可列可加性的關係極為密切。設φ 是拓撲線性空間，φ 按向量的加法成為交換的拓撲群。若ƒ是φ上的正定函數，W是φA上的線性子空間,且φ∈φ,φ=0等價於ƒ（φ）=0，對任何ƒ∈W；那麼在W上有惟一的柱測度Λ，使 (g∈φ)。ƒ是 φ上的連續的正定函數的充要條件是柱測度Λ關於φ 的拓撲是連續的。因此，經典調和分析中的有限維空間上的博赫納定理在無限維空間上的推廣問題與研究柱測度的可列可加性是等價的。當 G是一般的交換的拓撲群時，可用G的特徵標群G代替φ進行類似的討論。根據關於柱測度可列可加性的明洛斯定理知道,核空間φ上的連續正定函數必是φ ┡上的概率測度的傅里葉變換。夏道行利用擬不變測度的理論對交換拓撲群上的正定函數的表示得到了很一般的結果，即對一類交換的拓撲群推廣了博赫納定理。[1]