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{| class="wikitable" align="right" |- | style="background: #FF2400" align= center| '''<big>正弦</big>''' |- |<center><img src=https://gimg2.baidu.com/image_search/src=http%3A%2F%2Fwww.wendangwang.com%2Fpic%2F5b1693e8332cf07c0a66ea80%2F4-810-jpg_6-1080-0-0-1080.jpg&refer=http%3A%2F%2Fwww.wendangwang.com&app=2002&size=f9999,10000&q=a80&n=0&g=0n&fmt=auto?sec=1656798917&t=35d34ecd7e3e13e3dc60c945d78e3cb8 width="300"></center> <small>[https://image.baidu.com/search/detail?ct=503316480&z=0&ipn=d&word=%E6%AD%A3%E5%BC%A6&step_word=&hs=0&pn=1&spn=0&di=7084067677328637953&pi=0&rn=1&tn=baiduimagedetail&is=0%2C0&istype=0&ie=utf-8&oe=utf-8&in=&cl=2&lm=-1&st=undefined&cs=3633637046%2C2656471093&os=117920158%2C218336959&simid=3633637046%2C2656471093&adpicid=0&lpn=0&ln=1928&fr=&fmq=1654206926233_R&fm=&ic=undefined&s=undefined&hd=undefined&latest=undefined©right=undefined&se=&sme=&tab=0&width=undefined&height=undefined&face=undefined&ist=&jit=&cg=&bdtype=0&oriquery=&objurl=https%3A%2F%2Fgimg2.baidu.com%2Fimage_search%2Fsrc%3Dhttp%3A%2F%2Fwww.wendangwang.com%2Fpic%2F5b1693e8332cf07c0a66ea80%2F4-810-jpg_6-1080-0-0-1080.jpg%26refer%3Dhttp%3A%2F%2Fwww.wendangwang.com%26app%3D2002%26size%3Df9999%2C10000%26q%3Da80%26n%3D0%26g%3D0n%26fmt%3Dauto%3Fsec%3D1656798917%26t%3D35d34ecd7e3e13e3dc60c945d78e3cb8&fromurl=ippr_z2C%24qAzdH3FAzdH3Fooo_z%26e3Bojg1wg2owg2_z%26e3Bv54AzdH3F15vAzdH3Fck8mlnjbnndvua0vawmmjwbaAzdH3F9&gsm=2&rpstart=0&rpnum=0&islist=&querylist=&nojc=undefined&dyTabStr=MCwzLDIsNiw0LDEsNSw3LDgsOQ%3D%3D 来自 呢图网 的图片]</small> |- | style="background: #FF2400" align= center| '''<big></big>''' |- | align= light| 中文名;正弦 外文名;Sine 读音;Zhèngxián 分类;数学术语 |} '''正弦'''(sine),数学术语,在直角三角形中,任意一[[锐角]]∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA(由英语sine一词简写得来),即sinA=∠A的对边/[[斜边]]。 [[古代]]说法,正弦是股与弦的[[比例]]。<ref>[https://xinzhi.wenda.so.com/a/1522662613612805 初三数学--正弦值,余弦值和正切值], 360新知, 2018-04-02 </ref> ==研究历史== 古代说的“[[勾三股四弦五]]”中的“弦”,就是直角三角形中的斜边,“勾”、“股”是[[直角三角形]]的两条直角边。 正弦是股与弦的比例,余弦是余下的那条直角边与弦的[[比例]]。 正弦=股长/弦长 勾股弦放到圆里。弦是圆周上两点连线。最大的弦是[[直径]]。 把直角三角形的弦放在直径上,股就是∠A所对的弦,即正弦,勾就是余下的弦——余弦。 按现代说法,正弦是直角三角形的对边与斜边之比。 现代正弦公式是 sin = 直角三角形的对边比斜边. 如图1,斜边为r,对边为y,邻边为a。斜边r与邻边a[[夹角]]Ar的正弦sinA=y/r 无论a,y,r为何值,正弦值恒大于等于0小于等于1,即0≤sin≤1. ==三角函数== 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的[[三角函数]]是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。 由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。 三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的[[工具]]。 在RT△ABC中,如果锐角A确定,那么角A的对边与邻边的比便随之确定,这个比叫做角A 的正切,记作tanA 即tanA=角A 的对边/角A的邻边 同样,在RT△ABC中,如果锐角A确定,那么角A的对边与斜边的比便随之[[确定]],这个比叫做角A的正弦,记作sinA 即sinA=角A的对边/角A的斜边 同样,在RT△ABC中,如果锐角A确定,那么角A的邻边与斜边的比便随之确定,这个比叫做角A的[[余弦]],记作cosA 即cosA=角A的邻边/角A的斜边 ==正弦函数== 一般的,在直角坐标系中,给定单位圆,对任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v),那么点P的纵坐标v叫做角α的[[正弦函数]],记作v=sinα。通常,我们用x表示自变量,即x表示角的大小,用y表示函数值,这样我们就定义了任意角的[[三角函数]]y=sin x,它的定义域为全体实数,值域为[-1,1]。 相关公式 ==平方和关系== (sinα)^2 +(cosα)^2=1 ==积的关系== sinα = tanα × cosα(即sinα / cosα = tanα ) cosα = cotα × sinα (即cosα / sinα = cotα) tanα = sinα × secα (即 tanα / sinα = secα) ==倒数关系== tanα × cotα = 1 sinα × cscα = 1 cosα × secα = 1 ==商的关系== sinα / cosα = tanα = secα / cscα ==和角公式== sin ( α ± β ) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ sin ( α + β + γ ) = sinα · cosβ · cosγ + cosα · sinβ · cosγ + cosα · cosβ · sinγ - sinα · sinβ · sinγ cos ( α ± β ) = cosα cosβ ∓ sinβ sinα tan ( α ± β ) = ( tanα ± tanβ ) / ( 1 ∓ tanα tanβ ) ==倍角半角公式== sin ( 2α ) = 2sinα · cosα sin ( 3α ) = 3sinα - 4sin & sup3 ; ( α ) = 4sinα · sin ( 60 + α ) sin ( 60 - α ) sin ( α / 2 ) = ± √( ( 1 - cosα ) / 2) 由泰勒级数得出 sinx = [ e ^ ( ix ) - e ^ ( - ix ) ] / ( 2i ) 级数展开 sin x = x - x3 / 3! + x5 / 5! - ... ( - 1 ) k - 1 * x 2 k - 1 / ( 2k - 1 ) ! + ... ( - ∞ < x < ∞ ) 导数 ( sinx ) ' = cosx ( cosx ) ' = ﹣ sinx ==正弦定理== 特定正弦函数与椭圆的关系 关于椭圆的周长等于特定的[[正弦曲线]]在一个周期内的长度的证明: 半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆,该斜平面与[[水平面]]的夹角为α,截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到 f(c)=r tanα sin(c/r) r:圆柱半径 α:椭圆所在面与[[水平面]]的角度 c:对应的弧长(从某一个交点起往某一个方向移动) 以上为证明简要过程,则[[椭圆]](x*cosα)^2+y^2=r^2的周长与f(c)=r tanα sin(c/r)的正弦曲线在一个周期内的长度是相等的,而一个周期T=2πr,正好为一个圆的周长。 ==正弦定理== 正弦定理(The Law of Sines)是三角学中的一个基本定理,它指出“在任意一个平面三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”,即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D(r为外接圆半径,D为直径)。 早在公元2世纪,正弦定理已为古[[希腊]]天文学家托勒密(C.Ptolemy)所知.中世纪阿拉伯著名天文学家阿尔·比鲁尼(al—Birunj,973一1048)也知道该定理。但是,最早清楚地表述并证明该定理的是13世纪阿拉伯数学家和天文学家纳绥尔丁。在欧洲,犹太数学家热尔松在其《[[正弦、弦与弧]]》中陈述了该定理:“在一切三角形中,一条边与另一条边之比等于其对角的正弦之比”,但他没有给出清晰的证明。15世纪,德国数学家雷格蒙塔努斯在《[[论各种三角形]]》中给出了正弦定理,但简化了纳绥尔丁的证明。1571年,法国数学家韦达(F.Viete,1540一1603)在其《[[数学法则]]》中用新的方法证明了正弦定理,之后,德国数学家毕蒂克斯(B.Pitiscus,1561—1613)在其《[[三角学]]》中沿用韦达的方法来证明[[正弦定理]]。 ==单位圆== 图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ,并与单位圆相交。这个交点的 y [[坐标]]等于 sin θ。在这个图形中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边并有长度 1,所以有了 sin θ = y/1 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的[[三角形]]的一种方式。 对于大于 2π 或小于 −2π 的角度,简单的继续绕[[单位]]圆旋转。在这种方式下,正弦变成了周期为 2π的周期函数: 对于任何角度 θ 和任何整数 k。 ==级数== 正弦函数(绿色)被对中心为原点的全圆的它的 11 次泰勒级数(红色)紧密逼近。 ==微分方程== 由于正弦的导数是余弦,余弦的导数是负的正弦,因此正弦函数满足[[微分方程]] 这就是正弦的微分方程定义。 用其他[[三角函数]]的表示 两角和的正弦 二倍角公式 三倍角公式 半角公式 和差化积公式 [[万能公式]] ==数学术语== 正弦函数﹑[[余弦函数]]﹑正切函数﹑余切函数﹑正割函数与余割函数合称为三角函数。 == 参考来源 == <center> {{#iDisplay:j0897i2yctb|480|270|qq}} <center>正弦波的最大值是有效值的多少倍</center> </center> == 参考资料 == [[Category: 970 技藝總論]]
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