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求真百科

梯度

中文名: 梯度

外文名: gradient

学 科: 微积分学

适用范围: 数理科学

相关概念: 方向导数

性 质: 向量

梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。[1]

目录

定义

设二元函数 ,即有: gradf(x,y)= 其中 。 设

是方向l上的单位向量,则

由于当方向l与梯度方向一致时,有 所以当l与梯度方向一致时,方向导数

有最大值,且最大值为梯度的模,即

因此说,函数在一点沿梯度方向的变化率最大,最大值为该梯度的模。  

推广

梯度的概念可以推广到三元函数的情形。 设三元函数 ,称向量 为函数 ,即 其中。 同样,该梯度方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值。  

应用

设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w,在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw,则称为该物理参数的梯度,也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度、温度或空间,则分别称为速度梯度、浓度梯度、温度梯度或空间梯度。其中温度梯度在直角坐标系下的表达式如图1。   在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说,从欧几里得空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上,梯度是雅可比矩阵的特殊情况。 在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度

参考来源