格拉姆矩阵查看源代码讨论查看历史
| 格拉姆矩阵 |
 |
| 格拉姆矩阵 |
格拉姆矩阵是半正定的，反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。 这组向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩阵是恒同矩阵。[1]
定义
一个重要的应用是计算线性无关：一族向量线性无关当且仅当格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。 格拉姆矩阵以丹麦数学家约尔根·佩尔森·格拉姆（Jørgen Pedersen Gram）命名。
例子
最常见地，向量是欧几里得空间中元素，或L空间中函数，比如闭区间[a,b] 上的连续函数（是L（[a,b]）的子集）。 给定区间 ，由函数的标准内积给出： 给定一个实矩阵A，矩阵AA是A的列向量的格拉姆矩阵，而矩阵AA是A的行向量的格拉姆矩阵。 对一般任何域上的有限维向量空间上的双线性形式B，我们可对一组向量 。如果双线性形式B对称则该格拉姆矩阵对称。
主要应用
如果向量是随机变量，所得格拉姆矩阵是协方差矩阵。 在量子化学中，一组基向量的格拉姆矩阵是重叠矩阵（Overlap matrix）。 在控制论（或更一般的系统理论中），可控性格拉姆矩阵（controllability Gramian）与可观测性格拉姆矩阵（observability Gramian）确定了线性系统的性质。 格拉姆矩阵出现在协方差结构模型中。 在有限元方法中，格拉姆矩阵出现在从有限维空间逼近函数时；格拉姆矩阵的元素是有限维子空间的基函数的内积。 格拉姆矩阵是半正定的，反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩阵是恒同矩阵。 这个命题无穷维类比是Mercer 定理（Mercer's theorem）。
基变换
在一个由可逆矩阵 P 表示的基变换下，格拉姆矩阵是用 P 做一个矩阵合同变为 PTGP。
格拉姆行列式
格拉姆行列式（Gram determinant 或 Gramian）是格拉姆矩阵的行列式： 在几何上，格拉姆行列式是这些向量形成的平行多面体的体积之平方。特别地，这些向量线性无关当且仅当格拉姆行列式不为零（当且仅当格拉姆矩阵非奇异）。