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| 柯西序列 |
在数学中，一个柯西序列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。柯西列是以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名的。
简介
柯西列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度量空间(metric space)中柯西列才有意义。在更一般的一致空间(uniform space)中，可以定义更为抽象的柯西滤子(Cauchy filter)和柯西网(Cauchy net)。一个重要性质是，在完备空间（complete space）中，所有的柯西列都有极限，这就让人们可以在不求出这个极限（如果存在）的情况下，利用柯西列的判别法则证明该极限是存在的。柯西列在构造具有完备性的代数结构的过程中也有重要价值，如构造实数。
评价
在一个拓扑向量空间X中同样可以定义一个柯西列：在X选择一个0局部基B，如果对于B中的任何元素V，存在一个正整数N使得对于任意的m,n>N而言，序列满足，那么这个序列就称为一个柯西列。如果这个拓扑向量空间X上有恰好可以引入一个平移不变度量d，那么上述方法定义的柯西列和利用这个度量d定义的柯西列是等价的。令表示一列有限指标的递减的G的正规子群，那么群G中一个序列称为柯西列（对于上述 H而言），当且仅当对于任意的r，存在正整数N使得对于任意的 m,n>N，都有如果用C表示所有的这样定义的柯西列组成的集合，那么C在序列点点相乘的意义下构成一个新的群。而且，即所有空序列（对于任意r，存在N使得对于任意n>N，都有）构成了C的正规子群。而商群称为G相对于H的完备化可以证明，这个完备化同构与序列的逆向极限同构。如果H是个共尾序列（即任何有限的正规子群均包含某个），那么这个完备化在与的逆极限同构的意义下是规范的，这里的H跑遍所有有限的正规子群。[1]