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| 微分动力系统 |
动力系统 (dynamical system)是数学上的一个概念。在动力系统中存在一个固定的规则，描述了几何空间中的一个点随时间演化情况。例如描述钟摆晃动、管道中水的流动，或者湖中每年春季鱼类的数量，凡此等等的数学模型都是动力系统。
简介
在动力系统中有所谓状态的概念，状态是一组可以被确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。动力系统的演化规则是被一组函数控制，它描述未来状态如何依赖于当前状态的。这种规则是确定性的，即对于给定的时间间隔内状态只能演化出一个未来的状态。在动态系统中有所谓状态的概念，状态是一组可以被确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。动态系统的演化规则是一组函数的固定规则，它描述未来状态如何依赖于当前状态的。这种规则是确定性的，即对于给定的时间间隔内，从现在的状态只能演化出一个未来的状态。若只是在一系列不连续的时间点考察系统的状态，则这个动态系统为离散动态系统；若时间连续，就得到一个连续动态系统。如果系统以一种连续可微的方式依赖于时间，我们就称它为一个光滑动态系统。
评价
自然界中常出现一些随时间而演变的体系，如行星系、流体运动、物种绵续等等，这样的一些体系，如果都有数学模型的话，则它们的一个共同的最基本的数学模型是：有一个由所有可能发生的各种状态构成的集合X并有与时间t有关的动态规律φt:X→X。这样,一个状态x∈X随时间t变动而成为状态φt(x)。如果X是欧几里得空间或一般地是一个拓扑空间,时间t占满区域(-,)，动态规律φt还满足其他简单且自然的条件（见拓扑动力系统），则得一动力系统。这时，过每一点x∈X有一条轨线，即集合{φt(x)|t∈(- ,)}。 如果X是一欧氏空间，或较广地是一光滑流形,且动力系统φt:X→X在每一x∈X处对t可微:,则称这系统为常微分方程组或常微系统S 所产生。其逆，若X是紧致光滑流形,其上先给有一C1常微系统S 则据基本的常微分方程理论，S 恒产生一动力系统。这里,S 是C 1的，即S 对x连续地可微。 如上所述，动力系统理论与常微分方程定性理论中所探讨的内容似无多大的区分，然而有不同的侧面，动力系统着重在抽象系统而非具体方程的定性研究，其研究办法着眼于一族轨线间的相互关系，换言之，是整体性的。这整体性有些是拓扑式的,也有些是统计式的;后者主要是遍历性。动力系统理论是经典常微分方程式论的一种发展。[1]