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| − | '''度量'''（metric），亦称距离函数，数学概念，是度量空间中满足特定条件的特殊函数，一般用d表示。度量空间也叫做距离空间，是一类特殊的拓扑空间。弗雷歇（Fréchet，M.R.）将欧几里得空间的距离概念抽象化，于1906年定义了度量空间。 | + | [[File:度量.jpg|缩略图|右|[https://gimg2.baidu.com/image_search/src=http%3A%2F%2Fp5.itc.cn%2Fq_70%2Fimages03%2F20201201%2Fd8cb5502d9f64a748ff1a902daf32b2e.jpeg&refer=http%3A%2F%2Fp5.itc.cn&app=2002&size=f9999,10000&q=a80&n=0&g=0n&fmt=jpeg?sec=1644395498&t=4e67f30fe8c27c4492c639efb91fc904 原图链接][https://www.sohu.com/a/435640926_99901639 来自搜狐网]]] |
| + | '''度量'''（metric），亦称距离函数，数学概念，是度量空间中满足特定条件的特殊函数，一般用d表示。度量空间也叫做距离空间，是一类特殊的拓扑空间。弗雷歇（Fréchet，M.R.）将[[ 欧几里得空间]] 的距离概念抽象化，于1906年定义了度量空间。<ref>[https://iask.sina.com.cn/b/10EbiwAJmC3t.html 均方误差计算公式]手机爱问</ref> | ||
==提出== | ==提出== | ||
| − | 现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期，法国数学家M.R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来，都涉及函数间的距离关系，从而抽象出度量空间的概念。 | + | 现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了[[ 集合论]] ，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期，法国数学家M.R.弗雷歇发现许多[[ 分析学]] 的成果从更抽象的观点看来，都涉及函数间的距离关系，从而抽象出度量空间的概念。 |
| − | 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的线段的长度。 | + | 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维[[ 欧氏空间]] 。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的线段的长度。<ref>[https://www.wendangwang.com/doc/b9b144f25e8c225c28e68144 泛函分析论文]文档网</ref> |
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| − | 设为一个非空集合，其元叫做点。是全体实数的集。 | + | 设为一个非空[[ 集合]] ，其元叫做点。是全体实数的集。 |
若函数对于任意x,y,z∈X满足条件： | 若函数对于任意x,y,z∈X满足条件： | ||
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（c）；（称作三角形不等式） | （c）；（称作三角形不等式） | ||
| − | 则称函数为集合上的一个距离函数或度量。赋予度量d的集合X称为度量空间，记为(X,d)。 | + | 则称函数为集合上的一个距离函数或度量。赋予度量d的集合X称为[[ 度量空间]] ，记为(X,d)。 |
==例子== | ==例子== | ||
n维欧几里得空间Rn按通常的度量构成度量空间。区间[0,1]上定义的连续实值函数的集合上赋予由 | n维欧几里得空间Rn按通常的度量构成度量空间。区间[0,1]上定义的连续实值函数的集合上赋予由 | ||
确定的度量也是度量空间。在任意非空集合X上定义d(x,x)=0，当x≠y时，d(x,y)=1，则(X,d)也是度量空间。 | 确定的度量也是度量空间。在任意非空集合X上定义d(x,x)=0，当x≠y时，d(x,y)=1，则(X,d)也是度量空间。 | ||
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当d满足条件a的后半部分及b、c时，d称为伪度量，赋予伪度量的集合X称为伪度量空间。当d满足条件a、c时，d称为拟度量，赋予拟度量的集合X称为拟度量空间。 | 当d满足条件a的后半部分及b、c时，d称为伪度量，赋予伪度量的集合X称为伪度量空间。当d满足条件a、c时，d称为拟度量，赋予拟度量的集合X称为拟度量空间。 | ||
==性质== | ==性质== | ||
| − | d(x,y)为x与y之间的距离。在度量空间中，紧性、可数紧性、序列紧性、子集紧性是一致的。可分性、遗传可分性、第二可数性、林德勒夫性是一致的。度量空间必满足第一可数公理，是豪斯多夫空间，完全正规空间，仿紧空间。伪度量空间满足第一可数公理，但一般不是豪斯多夫空间。 | + | d(x,y)为x与y之间的距离。在度量空间中，紧性、可数紧性、序列紧性、子集紧性是一致的。可分性、遗传可分性、第二可数性、林德勒夫性是一致的。度量空间必满足第一可数公理，是[[ 豪斯多夫空间]] ，完全正规空间，[[ 仿紧空间]] 。伪度量空间满足第一可数公理，但一般不是豪斯多夫空间。 |
==直径（有界度量）== | ==直径（有界度量）== | ||
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则称为集合M的直径。直径为有限的集合称为有界集。当整个空间X的直径为有限（即）时，称X上的度量d为有界度量。 | 则称为集合M的直径。直径为有限的集合称为有界集。当整个空间X的直径为有限（即）时，称X上的度量d为有界度量。 | ||
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则称{xn}为柯西序列或基本序列。度量空间中每一收敛序列必为柯西序列；反之柯西序列未必收敛。若X中的任意柯西序列都收敛，则称X为完备度量空间。欧几里得空间和希尔伯特空间都是完备度量空间。 | 则称{xn}为柯西序列或基本序列。度量空间中每一收敛序列必为柯西序列；反之柯西序列未必收敛。若X中的任意柯西序列都收敛，则称X为完备度量空间。欧几里得空间和希尔伯特空间都是完备度量空间。 | ||
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於 2022年5月1日 (日) 15:44 的最新修訂
度量（metric），亦稱距離函數，數學概念，是度量空間中滿足特定條件的特殊函數，一般用d表示。度量空間也叫做距離空間，是一類特殊的拓撲空間。弗雷歇（Fréchet，M.R.）將歐幾里得空間的距離概念抽象化，於1906年定義了度量空間。[1]
提出
現代數學中一種基本的、重要的、最接近於歐幾里得空間的抽象空間。19世紀末葉，德國數學家G.康托爾創立了集合論，為各種抽象空間的建立奠定了基礎。20世紀初期，法國數學家M.R.弗雷歇發現許多分析學的成果從更抽象的觀點看來，都涉及函數間的距離關係，從而抽象出度量空間的概念。
度量空間中最符合我們對於現實直觀理解的是三維歐氏空間。這個空間中的歐幾里德度量定義兩點之間距離為連接這兩點的線段的長度。[2]
定義
設為一個非空集合，其元叫做點。是全體實數的集。
若函數對於任意x,y,z∈X滿足條件：
（a），等號當且僅當x=y時成立；（稱作正定性）
（b）；（稱作對稱性）
（c）；（稱作三角形不等式）
則稱函數為集合上的一個距離函數或度量。賦予度量d的集合X稱為度量空間，記為(X,d)。
例子
n維歐幾里得空間Rn按通常的度量構成度量空間。區間[0,1]上定義的連續實值函數的集合上賦予由
確定的度量也是度量空間。在任意非空集合X上定義d(x,x)=0，當x≠y時，d(x,y)=1，則(X,d)也是度量空間。
當d滿足條件a的後半部分及b、c時，d稱為偽度量，賦予偽度量的集合X稱為偽度量空間。當d滿足條件a、c時，d稱為擬度量，賦予擬度量的集合X稱為擬度量空間。
性質
d(x,y)為x與y之間的距離。在度量空間中，緊性、可數緊性、序列緊性、子集緊性是一致的。可分性、遺傳可分性、第二可數性、林德勒夫性是一致的。度量空間必滿足第一可數公理，是豪斯多夫空間，完全正規空間，仿緊空間。偽度量空間滿足第一可數公理，但一般不是豪斯多夫空間。
直徑（有界度量）
直徑（diameter）是度量空間的基本概念之一。設M為度量空間(X,d)的子集，定義
則稱為集合M的直徑。直徑為有限的集合稱為有界集。當整個空間X的直徑為有限（即）時，稱X上的度量d為有界度量。
拓展概念（完備度量空間）
完備度量空間是一類重要的度量空間。設(X,d)是度量空間，{xn}為X中的序列。若對於任意ε>0，存在n∈N，當 i,j≥n 時有
則稱{xn}為柯西序列或基本序列。度量空間中每一收斂序列必為柯西序列；反之柯西序列未必收斂。若X中的任意柯西序列都收斂，則稱X為完備度量空間。歐幾里得空間和希爾伯特空間都是完備度量空間。