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哥德巴赫猜想
是一個尚未被證明的數學猜想，該猜想認為，任意大於等於四的偶數，都可以寫成兩個質數之和；另外任意大等於於七的奇數，都可寫成三個質數的和。
基本上，只要能證明「任意大於等於四的偶數，都可以寫成兩個質數之和」，就可以證明「任意大等於於七的奇數，都可寫成三個質數的和」，因為前者可直接推得後者，因此「任意大於等於四的偶數，都可以寫成兩個質數之和」為此猜想的「強」版本；「任意大等於於七的奇數，都可寫成三個質數的和」為此猜想的「弱」版本。
分解實例(一些數有不只一種分解方法)：4 = 2+2、6 = 3+3、(7 = 2+2+3)、8 = 5+3、(9 = 3+3+3)、10 = 5+5 = 7+3、(11 = 7+2+2 = 5+3+3)、12 = 7+5、(13 = 7+3+3 = 5+5+3)、14 = 7+7 = 11+3、(15 = 5+5+5 = 7+5+3 = 11+2+2)、16 = 11+5 = 13+3、......。目前已知在1017次方以下此定理的「強」版本(及「弱」版本)沒有反例存在。
此猜想在十八世紀就被克里斯蒂安·哥德巴赫提出(哥德巴赫認為1也是質數，故其原始的敘述與現今的版本不同)，但截至目前為止，沒有人可證實(或反證)此猜想，而此猜想亦為希爾伯特第八問題的一部份。
以往的证明全部都是错误的
设a,b,c为殆素数，即n个素数的乘积。
问：【1+1】是否包含在【 a+b】或者【1+c】中？
如果回答：“是”
问：证明程序是否可以从【a+b】或者【1+c】到达【1+1】？
如果回答：“是”。
问：【1+1】是否可以从【a+b】或者【1+c】中剥离出来？
如果回答：“是”。
最后如果证明了【1+1】不能成立，前面3条就都是错误的。
因为这个就是预期理由的错误。
分析一，就是說，前面三條是在假定【1+1】必須正確的情況下的“成果”，這個就荒唐了，我們還不知道最後是否正確，就假定了最後成果必然正確。这个就是预期理由的逻辑错误，预期理由是暗含了“假定存在”的非逻辑前提，数学证明严禁使用非逻辑前提。
分析二，如果前面三條不能成立或者不能肯定必然成立，怎麼可以算是“成果”呢？
1，假定。只能用在否定结果的证明中，例如，欧几里得证明素数无穷多个。 假定a成立，可以推出b，得到c，c与a矛盾，所以假定的a不能成立，得到非a。
2，假定不能用在肯定的结论。假定a，可以推出b，得到c，c=a，或者c包含a，所以假定的a成立。（这个就是预期理由的错误）
3，为什么“假定”只能用于否定的结论，而不能用于肯定的结论？
一个对科学理论更强的逻辑制约因素是，它们是能够被证伪的。换一句话说，因为以后能够被观测作有意义的检验，理论一定有被证伪的可能性。这种证伪的判据是区分科学与伪科学的一种方法。原因在于证实的内在局限性，证实只能增加一个理论的可信度，却不能证明整个理论的完全正确。因为在未来的某一个时刻，总是会发现与理论有冲突的事例。
就是说，因为“证明”所谓【1+3】而获得菲尔兹奖的邦别里也是错误的。
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哥德巴赫猜想只是一个初等数论问题
素数普遍公式
（清华大学出版社【品数学】第5页）
西元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：
（一），“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。
（二），“如果自然数N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N.。
（三），如果自然数N是素数，当且仅当N不能被不大于√N的任何素数整除”。
见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。
（四），对于（三）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：
公式形式：
N=P₁M₁+A₁=P₂M₂+A₂=.....=Pr Mr +Ar ......(1)。
其中P₁，P₂，....，Pr 表示顺序素数 2，3，5，......。Ai≠0。
这样解得的N，若N＜P²r+1，则N是一个素数。
我们可以把（1）式内容等价转换同余式组表示：
N≡A₁(modP₁)，N≡A₂(modP₂)，.....N≡Ar(modPr)。。。。.（2）
由于（2）的模P₁，P₂，，.，Pr 都是素数，因此两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的A₁，A₂，，，Ar，（2）式在P₁P₂....Pr范围内有唯一解。
范例
例如，r=1，N=2M₁+1,解得N=3,5,7。7﹤3²=9，求得了（3,3²）区间的全部素数。
r=2，
N=2M₁+1=3M₂+1,解得N=7,13,19;
N=2M₁+1=3M₂+2,解得N=5,11,17,23.
求得了（5,5²）区间的全部素数。
仿此下去，可以一个不漏地求得任意大的全部素数。
人类为了寻找这个公式，花费了2000多年。所以数学大师希尔伯特是1900年国际数学家大会上说，如果有了可以构造一切素数的公式，哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等就可以解决了。
怎样使得两个自然数相加和相减都成为素数
（从台尔曼公式谈起【中等数学】2002年5期）
即 S+X 成为素数，S-X 也是素数。
根据除法算式定理：“给定正整数a和b，b≠0，存在唯一整数q和t（0≤t＜b），使a=bq+t”。
再根据同余定理：“每一整数恰与0,1,2,3，。.，m-1中一数同余（mod m）”。、所以，任给一个自然数S(S >4)，都可以唯一表示成为：
S=P₁M₁+C₁=P₂M₂+C₂=...=Pr Mr + Cr。。(3)
其中 P₁，P₂，.Pr，.表示前面r个顺序素数 2，3，5，....，。Ci=0，1，2，...,.Pr—1，
P²r /2 < S ＜ P²r+1
现在问，是否存在X,
X=P₁H₁+D₁=P₂H₂+D₂=......=Pr Hr +Dr .(4)
其中：Di≠Ci ； Di≠Pi - Ci。,
如果X ＜S-2，则S+X与S-X都是素数。
范例：
设S=20，
20=2M₁+0=3M₂+2=5 M₃ + 0
5²/2 < 20 <7²/2 (即25/2﹤20﹤49/2)
20的 C₁=0；C₂=2,；C₃=0。
构造X并且有4个解：
X=2H₁+1=3H₂+0=5H₃+1=21.;
X=2H₁+1=3H₂+0=5H₃+2=27;
X=2H₁+1=3H₂+0=5H₃+3=3;
X=2H₁+1=3H₂+0=5H₃+4=9.
四个解是：21，27，3，9。小于S-2的X有3和9，我们得知，20+3与20-3是一对素数；20+9与20-9是一对素数。 这就是利用素数判定法则：最小剩余不为零，并且 S+X＜P²r+1,， 则S+X与S-X是一对素数。
推论：
因为（S+X）+（S-X）=2S。这就是著名的哥德巴赫猜想猜想， 我们需要证明(3)和（4）式必然有小于P²_r / 2的解，就证明了哥德巴赫猜想。
孙子定理和埃拉托斯特尼筛法形成的公式已经为哥德巴赫猜想提供了合理框架，并且把问题转入到初等数论范围。尽管我们现在还不能证明它，但是，我们已经把它编入初等数论范围。 参见陈景润事件