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减函数

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中文名;减函数

外文名;Decreasing function

应用学科;数学,物理,化学

适用领域范围;高中

性质;函数值随自变量的增大而减小

函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1<x2时,都有f(x1)> f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数,并称区间D为递减区间。减函数的图像从左往右是下降的,即函数值随自变量的增大而减小。判断一个函数是否为减函数可以通过定义法、图像法、直观法或利用该区间内导数值的正负来判断。[1]

定义

一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)> f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数。

即随着自变量x增大,函数值y减小的函数为减函数。

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就或函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D就叫做函数y=f(x)的单调区间。

单调性的证明

用定义法证明单调性的步骤

(1)任取x1,x2∈D,且满足x1<x2;

(2)作差f(x1)-f(x2);

(3)变形(通常是因式分解和配方);

(4)定号(即判断f(x1)-f(x2)的正负);

(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。

在证明函数为减函数时,只需要证明:当x1<x2时f(x1)-f(x2)>0。在减函数的图像中,函数图像从左往右是下降的,即函数值随自变量的增大而减小。

单调性的判断方法

(1)定义法:即“取值(定义域内)→作差→变形→定号→判断”;

(2)图像法:先作出函数图像,利用图像直观判断函数的单调性;

(3)直接法:就是对于我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,直接写出它们的单调区间。

(4)求导法:假定函数f在区间[a,b]上连续且在(a,b)上可微,若每个点x∈(a,b)有f'(x)>0,则f在[a,b]上是递增的;若每个点x∈(a,b)有f'(x)<0,则f在[a,b]上是递减的。

注意事项

(1)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的,是函数的局部性质;

(2)函数f(x)在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质

(3)函数的单调性定义中x1,x2有三个特征:任意性、有大小、属于同一个单调区间;

(4)求函数的单调区间,必须先求定义域。

(5)区间端点的写法:对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但对于某些点无意义时,单调区间就不包括这些点。

性质

(1)增函数+增函数=增函数;

(2)减函数+减函数=减函数;

(3)增函数-减函数=增函数;

(4)减函数-增函数=减函数。

实例

判断函数y=-x^3的单调性。

解:易得该函数是整函数,故定义域为R。

(1)利用定义法来判断该函数的单调性。

任取x1,x2∈R,且满足x1<x2,则有:

最终两个因式中第一个因式小于零,第二个因式恒大于零,且两因式前有一个负号,故有f(x1)-f(x2)>0,即有:当x1-x2<0时,有f(x1)-f(x2)>0,故该函数在R上为减函数。

(2)利用图像法来判断。

对于常见函数y=x^3的图像,如右图所示,易得该函数图像从左往右看是上升的趋势,故该函数在定义域R上为增函数。而函数y=-x^3与y=x^3相差一个负号,在图象表示为关于x轴对称,故易得函数y=-x^3的图像从左往右看是下降的趋势,因此函数y=-x^3在定义域R上为一个减函数

(3)利用求导法来判断。

对函数进行求导,得

恒成立,故有该函数在定义域R上为减函数。

参考来源

Excel中如何运用减法函数?

参考资料

  1. 减函数的是什么,360问答 , 2013年12月09日