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| 代数拓扑学1 |
代数拓扑学是拓扑学中主要依赖代数工具来解决问题的一个分支。同调与同伦的理论是代数拓扑学的两大支柱（见同调论，同伦论）。
简介
广义同调论满足除开维数公理之外的所有艾伦伯格－斯廷罗德同调论公理。具有各自几何背景的各种广义同调论的出现大大开拓了代数拓扑的领域，提高了用代数方法解决几何问题的能力。广义同调的表示定理表明可以在同伦概念的基础上来建立同调论。目前，重要的广义同调论有K上同调,协边上同调，MU上同调，BP上同调，等等。不论同伦或同调，从几何向代数的过渡总是由函子来实现的。范畴与函子的理论，首先由代数拓扑的需要而产生,已在许多数学分支有广泛的应用。无论同伦或同调，都是对每个拓扑空间X 对应了一个群F(X)，对每一个连续映射?:X →Y 对应了一个同态F(?):F(X)→F(Y)，且满足：①当X=Y，?=恒等自映射时，F(?)=恒等自同构。②若g:Y→Z,则F(g?)=F(g)F(?)。作为用这种函子性质解决拓扑问题的一个例子，考虑?:X →Y 为同胚的情形，这时F(?)与F(?)互为逆同态，从而F(?)：F(X)→F(Y)为同构。证明两个空间X与Y不同胚的一个常用的办法就是找出一个适当的函子F,使得F(X)不同构于F(Y)。拓扑不变量往往也就是这种函子。同调与同伦是实质上不同的概念，这从简单的例子就可以看出来。在图中，设F 是将环面挖一个圆洞所得的曲面。则边界圆周C 在曲面 F上是同调于0的一维闭链。但C 看作F上的环道则不同伦于0。人们很早就知道,不一定可交换的基本群交换化之后就同构于一维同调群。对于同调与同伦之间关系进行深入探讨的结果促使同调代数迅速地向前发展起来。这一整套强有力的工具不仅对代数拓扑本身产生巨大影响，也深深地渗入到其他数学分支，如代数、代数几何、泛函分析、微分方程、复分析等等。 与同调对偶的上同调在许多场合用起来比同调更为得力，这是H.惠特尼在30年代的发现。S.莱夫谢茨对流形上的同调交截理论所作的深入研究启发人们想到上同调乘积的存在。N.E.斯廷罗德在继H.霍普夫之后研究有限复形K 到球面Sn的连续映射同伦分类问题时发现了一类上同调运算。上同调群配以上同调运算使得对应于几何对象的代数对象有更为丰富的结构，从而解决问题的能力也更强。
评价
欧氏空间R，当n=2,4,8时可以定义乘法·, 满足关系‖x·y‖=‖x‖‖y‖，这里‖‖表示R的范数；>R(n=2,4,8) 的点分别看作复数、四元数、凯莱数就得到这种乘法。是否还有其他的n值使 R能成为这种赋范代数呢？若 R具有赋范代数结构,则球面 S为H空间。这后一结论又等价于存在霍普夫不变量等于 1的球面映射S→S。 这个问题在同伦论发展的初期就被提出来，当时是个很难下手的问题。与这个问题邻近的还有球面 S 上至多能有多少个线性独立的切向量场的问题。1960年前后，J.F.亚当斯彻底解决了这两个问题。于是知道除开n=2,4,8这几种已知情形，不可能在R 上引进保持范数的乘法。一个古老的代数难题用拓扑的方法得到了解答。亚当斯还充分利用了同调代数（包括谱序列），上同调运算理论，广义同调论等方面当时所能提供的工具，使它们充分发挥了威力。这些成就足以说明代数拓扑那时正处于发展的高潮。[1]