代数扩张

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代数扩张，是指在抽象代数中，一个域扩张（通常记作）被称作代数扩张，当且仅当每个的元素都是在上代数的，即：满足一个系数布于的非零多项式。反之则称超越扩张。

抽象代数是描述代数类型的一个术语，与近世代数和一般代数同义。它是从本世纪20年代中期发展起来的，并已成为现代数学的基本用语。

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简介

在抽象代数中，一个域扩张（通常记作）被称作代数扩张，当且仅当每个的元素都是在上代数的，即：满足一个系数布于的非零多项式。反之则称超越扩张。

设为任意的域扩张，可以看作是上的向量空间。定义为其维度，称作这个扩张的次数。有限次数的扩张（简称有限扩张）都是代数扩张；反之，给定一个代数扩张，则里的任一元素都落在一个有限子扩张内，因此一个代数扩张可表作有限子扩张的归纳极限。

定义

代数扩张是一类重要的域扩张。若E中元皆为F上的代数元，则称此域扩张为代数扩张，E称为F的代数扩域，否则称为超越扩张，而E称为F的超越扩域。代数扩张具有传递性。当α是F上代数元时，其单代数扩域F(α)同构于F[x]/(p(x))，p(x)是α的最小多项式，(p(x))表F[x]中由p(x)生成的主理想。

对于一个数域P，如果ξ是域P上的一个不可约多项式在其扩域上的一个根，我们把ξ和域P的元素之间的和、差、积、商所组成的数集叫做域P上的一个代数扩张。交换体K的扩张K′称为是代数扩张，如果K′的所有元素都是K上的代数元素。为使K是代数封闭的，必须且只须K的任一代数扩张都等于K。

抽象代数

抽象代数是描述代数类型的一个术语，与近世代数和一般代数同义。它是从本世纪20年代中期发展起来的，并已成为现代数学的基本用语。以前的代数是高度计算性的，并且只限于研究一般以实数和复数为基础的特定数系。而抽象代数与之相反，它是概念性的、公理化的，讨论的是非特定的任意元素集合的系统以及满足已规定的若干公理的某些合成法。抽象代数讨论若干重要的代数结构，诸如群、环、格等，这种结构由一集合S构成，它的元素并未指定其性质，且在S上赋予了若干个有限重的合成法。如r为一正整数，一个r重合成法就是使S中任意r个元的组a1，a2，…，ar对应于S中唯一的元ω(a1，a2，…，ar)。

在代数结构的研究中，相当大的一部分可以用统一的方法来开展，而不必限定特殊的结构。但抽象代数较深的方面却要求对各个系的特殊化，其多样性在很大程度上是由于它们可应用于数学的其它领域及物理学、化学等，因而对代数结构的一般研究也称为代数论，其基本概念有同态、同构等。

抽象代数有较强的包括新学科的能力，例如同调代数在数论和群论中都有重要的应用，同调代数的产物——范畴理论已在整个数学领域有所应用。

域扩张

域扩张是域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间.研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张).它由一切形如：

f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)

的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且：

g(α1，α2，…，αn)≠0.

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域.当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域.F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。

纯超越扩张

纯超越扩张是一类重要的超越扩张。设扩域K在F上的超越基为S，若K=F(S)，则称此域扩张为纯超越扩张，K为F的纯超越扩域。此时，K与F上一组未定元X的多项式环F[X]的分式域(商域)F(X)同构，其中X与S的基数相等。一般地，设K是F的任一扩域，若其超越基为S，则F(S)是F的纯超越扩域，K为F(S)的代数扩域。这样，一个域扩张可分成两种特殊的域扩张来研究，即FF(S)K。超越次数为1的纯超越扩张称为单超越扩张。

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