拉格朗日定理

拉格朗日定理 图片来自小红书

拉格朗日定理，数理科学术语，存在于多个学科领域中，分别为：微积分中的拉格朗日中值定理；数论中的四平方和定理；群论中的拉格朗日定理 (群论)。

又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

目录

微积分

在微积分中，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

1.文字叙述

如果函数 满足：1) 在闭区间 上连续；2) 在开区间 内可导；那么在 内至少有一点 ，使等式成立。

2.逻辑语言的叙述

若函数 满足

3.证明

令 ，那么

1） 在 上连续，

2） 在 上可微（导），

3） 由罗尔定理，存在一点 ，使得 。即 。

数论

1.内容

四平方和定理（Lagrange's four-square theorem） 说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。注意有些整数不可表示为3个整数的平方和，例如7。

2.历史

1） 1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式：。根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数 和 能表示为4个整数的平方和，则其乘积 也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

2）1751年，欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数 ，同余方程 必有一组整数解 满足 ， （引理一）。

至此，证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。

群论

拉格朗日定理是群论的定理，利用陪集证明了子群的阶一定是有限群的阶的约数值。

1.定理内容

叙述：设H是有限群 的子群，则 的阶整除 的阶。

定理的证明是运用 在 中的左陪集。 在 中的每个左陪集都是一个等价类。将 作左陪集分解，由于每个等价类的元素个数都相等，都等于 的元素个数（ 是 关于 的左陪集），因此 的阶（元素个数）整除 的阶，商是 在 中的左陪集个数，叫做 对 的指数，记作 。

陪集的等价关系

定义二元关系 ： 。下面证明它是一个等价关系。

1) 自反性

2) 对称性

3) 传递性

可以证明。因此左陪集是由等价关系 确定的等价类。

拉格朗日定理说明，如果商群 存在，那么它的阶等于 对 的指数 。

上述写法在为无限群时也成立。

2.推论

由拉格朗日定理可立即得到：由有限群 中一个元素 的阶数整除群 的阶（考虑由 生成的循环群）。

3.逆命题

拉格朗日定理的逆命题并不成立。给定一个有限群 和一个整除 的阶的整数 ， 并不一定有阶数为 的子群。最简单的例子是4次交替群 ，它的阶是12，但对于12的因数6， 没有6阶的子群。对于这样的子群的存在性，柯西定理和西洛定理给出了一个部分的回答。