作图查看源代码讨论查看历史

尺规作图（Compass-and-straightedge construction）是指用无刻度的直尺和圆规作图。

[]

尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。尺规作图使用的直尺和圆规带有想象性质，跟现实中的并非完全相同： 1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度； 2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。 义务教育阶段学生首次接触的尺规作图是“作一条线段等于已知线段”。

八种基本作图

1、作一条线段等于已知线段 2、作一个角等于已知角 3、作已知线段的垂直平分线 4、作已知角的角平分线 5、过一点作已知直线的垂线 6、已知三边作三角形 7、已知两角、一边作三角形 8、已知一角、两边作三角形

基本方法

以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法 [2]： 1、通过两个已知点可作一直线。 2、已知圆心和半径可作一个圆。 3、若两已知直线相交，可求其交点。 4、若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。 5、若两已知圆相交，可求其交点。

作图实例

过三点作圆 【已知】不共线的A、B、C三点。 【求作】过该三点之圆。 【作法】① 连接AB，连接AC；② 分别作出线段AB、AC的中点D、E；③ 过D作AB的垂线，过E作AC的垂线，两垂线相交于O；④ 以O为圆心OA长为半径作圆，即为求作之圆。 作顶点分别在三平行线上的正三角形 【已知】平行直线L1、L2、L3。 【求作】正△ABC，使三个顶点分别落在三条平行线上。 【作法一】① L1上任取一点D为顶点，作正三角形△DBE，使B、E落在L2上（图1中虚线为正三角形简易作法）；② 作过D、E直线交L3于C；③ 以B为圆心BC为半径作弧交L1于A，连接A、B、C成△ABC。 【作法二】① L2上任取一点B作三平行线公垂线交L1于E，L3于D；② 作线段EB的垂直平分线L4；③ 过D作直线DG使∠EDG = 30°，并交L4于G；④过B、G作直线交L1于A；⑤ 以B为圆心BA为半径作弧交L3于C，连接A、B、C成△ABC。 注：可将第⑤步改为，过G作AB的垂线交L3于点C。这样G,B,D,C四点显然共圆。于是可证得∠BCG=∠EDG = 30°。这样可以很快证得△ABC为等边三角形。

著名问题

尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题： ■倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ■化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。 ■三等分角：作一个角，将其分为三个相等的部分。 以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题，但在欧几里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决的。直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。