高斯曲率

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高斯曲率是全國科學技術名詞審定委員會審定、公布的科技術語。

歷史名詞是歷史上曾出現的事件及事物的名稱，例如「禪讓」，傳說古代實行舉薦賢能之人為首領繼承人的一種制度，據文獻記獻：有堯舉舜、舜舉禹、禹先舉皋陶、皋陶死禹又舉益等歷史故事。

目錄

名詞解釋

微分幾何中，曲面上一點的高斯曲率是該點主曲率κ1和κ2的乘積。它是曲率的內在度量，也即，它的值只依賴於曲面上的距離如何測量，而不是曲面如何嵌入到空間。這個結果是高斯絕妙定理的主要內容。

重要定理

1.絕妙定理

高斯的絕妙定理斷言曲面的高斯曲率由曲面上長度的測量本身決定。事實上，它完全由第一基本形式決定並且可以用第一基本形式及其一階和二階偏導數表達。等價地，嵌入在

中的曲面的第二基本形式的行列式也可以這樣表達。定理的"絕妙"之處在於，雖然

中的曲面S上的高斯曲率的定義明顯依賴於曲面各點在空間中的定位，而高斯曲率本身只要曲面上的內在度量就可以決定，而與環境空間沒有進一步的關聯：它是一個內蘊不變量。精確地講，高斯曲率在曲面的等度變換下保持不變。

在現代微分幾何中，"曲面"抽象的看來是一個二維微分流形。將這個觀點和曲面的經典理論聯繫起來的是將抽象曲面嵌入到R中，並用第一基本形式賦予黎曼度量。

2.高斯-博內定理

高斯-博內定理將曲面的總曲率和它的歐拉示性數聯繫起來，並且給出了一個局部幾何性質和全局拓撲性質的重要關聯。

常曲率曲面

1.Minding定理(1839年)斷言所有具有相同常曲率

的曲面局域等度。Minding的一個結果是所有曲率為0的曲面可以通過彎曲平面區域來構造。這樣的曲面稱為可展曲面。Minding也提出了有常正曲率的閉曲面是否剛性的問題。

2.Liebmann定理(1900年)解決了Minding的問題。唯一常正曲率正則中的閉曲面是球面。