芬斯勒幾何

芬斯勒流形(Finsler manifold)或芬斯勒幾何(Finsler geometry)由瑞士數學家保羅·芬斯勒(Paul Finsler)在1918年的博士論文中提出。芬斯勒幾何是一種沒有二次型限制的黎曼幾何，與變分學密切相關。芬斯勒幾何分為實數芬斯勒幾何與複數芬斯勒幾何，且在生物、工程、物理等領域有廣泛應用。

芬斯勒流形是一個在每個切空間有巴拿赫(Banach)範數的微分流形，該巴拿赫範數是位置的光滑函數並滿足以下條件：

對M中的每點x，對切空間<math>T_xM</math>中的每一向量v，如下函數<math> L:T_xM\to R </math>的二階導數

<math>L(\bold{w})=\frac{1}{2}\|w\|^2</math>

在v是正定的。

黎曼流形(但不包括偽黎曼流形)是芬斯勒流形的特例。

可微曲線γ的長度由下式給出

<math>\int \left\|\frac{d\gamma}{dt}(t)\right\| dt</math>

注意這是一個重參數化不變量，測地線是長度在變分時取極值的曲線。