李雅普諾夫

李雅普諾夫(Алекса́ндрМиха́йловичЛяпуно́в,1857-1918)俄國數學家、力學家。1857年6月6日生於雅羅斯拉夫爾；1918年11月3日卒於敖德薩。

李雅普諾夫
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原文名	Алекса́ндрМиха́йловичЛяпуно́в
國籍	俄國
職業	數學家、力學家

目錄

簡介

在李雅普諾夫那個時代，俄國在數學方面的研究是相當落後的，這種情況直到李雅普諾夫的老師切比雪夫創立了聖彼得堡數學學派以後才慢慢改變。李雅普諾夫最尊敬的老師切比雪夫創立的聖彼得堡數學學派不僅加速了俄國的數學研究，更是把俄國數學研究帶到了世界領先的地位。當然李雅普諾夫和他的同門師兄馬爾科夫立下了汗馬功勞。李雅普諾夫和馬爾科夫都是老師切比雪夫最喜愛、最得意的弟子，他們才華橫溢是老師創立的聖彼得堡數學學派的骨幹力量。李雅普諾夫簡介中經常提到他大名鼎鼎的老師和名聲在外的師兄。

李雅普諾夫簡介異常的簡單，他的一生除了數學、力學外別無他物。一八七六年進入著名的聖彼得堡大學數學系就讀。接着就是留校教學，進一步的攻讀碩士、博士學位，研究他喜愛的數學和力學。經過多年的紮實研究，他的榮譽也隨之而來，成為教授、院士等。他的一生最顯赫的成就在於常微分方程定性理論和天體力學。

成就

切比雪夫創立的彼得堡學派的傑出代表

李雅普諾夫是切比雪夫創立的聖彼得堡學派的傑出代表，他的建樹涉及到多個領域，尤以概率論、微分方程和數學物理最有名。

創立特徵函數法

在概率論中，他創立了特徵函數法，實現了概率論極限定理在研究方法上的突破，這個方法的特點在於能保留隨機變量分布規律的全部信息，提供了特徵函數的收斂性質與分布函數的收斂性質之間的一一對應關係，給出了比切比雪夫、馬爾可夫關於中心極限定理更簡單而嚴密的證明，他還利用這一定理第一次科學地解釋了為什麼實際中遇到的許多隨機變量近似服從正態分布.他對概率論的建樹主要發表在其1900年的《概率論的一個定理》和1901年的《概率論極限定理的新形式》論文中.他的方法已在現代概率論中得到廣泛的應用。這方面工作後來由A．A．馬爾科夫繼承。

常微分方程運動穩定性理論的創始人

李雅普諾夫是力學中運動穩定性理論奠基人之一。運動穩定性問題在19世紀下半葉已有許多學者進行研究並得出一些成果，如著名物理學家J·C．麥克斯韋(1868)分析蒸汽機調速器和鐘錶機構穩定性的論文《論調節器》，E．J．勞思(1830～1907)的專著《已知運動狀態的穩定性》(1877)，H．E．儒科夫斯基的《論運動的持久性》(1882)等。李雅普諾夫和法國H．龐加萊各自從不同角度研究了運動穩定性理論中的一般性問題。李雅普諾夫採用的是純數學分析方法，龐加萊則側重於用幾何、拓撲方法。李雅普諾夫1884年完成了《論一個旋轉液體平衡之橢球面形狀的穩定性》一文，1888年，他發表了《關於具有有限個自由度的力學系統的穩定性》，特別是他1892年的博士論文《運動穩定性的一般問題》是經典名著。文中對已知運動狀態的穩定性給出嚴格的數學定義，提出兩套分析方法：第一套適用於運動狀態為已知的情形，第二套則完全是定性的，只要求知道運動的微分方程。後一套方法在20世紀被廣泛用於分析力學系統和自動控制系統，在其中開創性地提出求解非線性常微分方程的李雅普諾夫函數法，亦稱直接法，它把解的穩定性與否同具有特殊性質的函數（現稱為李雅普諾夫函數）的存在性聯繫起來，這個函數沿着軌線關於時間的導數具有某些確定的性質.正是由於這個方法的明顯的幾何直觀和簡明的分析技巧，所以易於為實際和理論工作者所掌握，從而在科學技術的許多領域中得到廣泛地應用和發展，並奠定了常微分方程穩定性理論的基礎，也是常微分方程定性理論的重要手段。

旋轉流體的平衡形狀及其穩定性

李雅普諾夫還研究過旋轉流體的平衡形狀及其穩定性。這一問題同天體起源理論有關。龐加萊曾提出平衡形狀有可能從一個橢球體派生(稱為分岔)出一個梨形體。李雅普諾夫則指出這種梨形形狀是不穩定的，他的研究結果後來為J．瓊斯在1917年所證實。

為數學物理方法的發展開闢了新的途徑

李雅普諾夫對位勢理論的研究為數學物理方法的發展開闢了新的途徑。他1898年發表的論文《關於狄利克雷問題的某些研究》也是一篇重要論文，該文首次對單層位勢、雙層位勢的若干基本性質進行了嚴謹的探討，指出了給定範圍內的本問題有解的若干充要條件。他的研究成果奠定了解邊值問題經典方法的基礎。

姓氏命名的數學概念

在數學中以他的姓氏命名的有：李雅普諾夫第一方法，李雅普諾夫第二方法，李雅普諾夫定理，李雅普諾夫函數，李雅普諾夫變換，李雅普諾夫曲線，李雅普諾夫曲面，李雅普諾夫球面，李雅普諾夫數，李雅普諾夫隨機函數，李雅普諾夫隨機算子，李雅普諾夫特徵指數，李雅普諾夫維數，李雅普諾夫系統，李雅普諾夫分式，李雅普諾夫穩定性等等，而其中以他的姓氏命名的定理、條件有多種。

李雅普諾夫公式

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李雅普諾夫在數學和物理方面都有十分卓越的成就，故而在這兩個領域中非常有名。對於對數學比較了解的人而言，一定不會對概率論中的特徵函數法感到陌生，特徵函數法就是由李雅普諾夫創立的，是李雅普諾夫成就之一。李雅普諾夫的數學成就絕不僅僅只在這一方面。在微分方程的領域，他也大有建樹；他從純數學的角度，分析了運動穩定性中的一般性問題，向運動穩定性理論給予了嚴格的數學定義，並且提出不止一種的分析方法。李雅普諾夫不單單在物理運動學方面運用了數學，還為數學物理方法的應用做出了傑出的貢獻：例如，他對位勢理論的研究就為解邊值問題經典解法提供了基礎。這些都是卓越的李雅普諾夫成就。

視頻

李雅普諾夫函數有何含義，如何構造？