弦切角定理
| 弦切角定理 |
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中文名；弦切角定理 外文名；Alternate Segment Theorem
适用领域范围；数学 |
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。[1]
目录
弦切角定义
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
如图1所示，线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。
等于它所夹的弧的圆周角度数。
如图2，已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。
求证：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
证明：设圆心为O，连接OC，OB,。
∵∠OCB=∠OBC
∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)
又∵∠BOC=2∠BAC
∴∠OCB=90°-∠BAC
∴∠BAC=90°-∠OCB
又∵∠TCB=90°-∠OCB
∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
综上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
衍生及证明
已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.
求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半
证明：分三种情况：
（1）圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径
∴弧CmA=弧CA
∵弧CA为半圆,
∴弧CmA的度数为180°
∵AB为圆的切线
∴∠CAB=90°
∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半
（2）圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点E，
连接EC、ED、EA。则
∵弧CD=弧CD
∴∠CED=∠CAD
∵AD是圆O的直径
∴∠DEA=90°
∵AB为圆的切线
∴∠BAD=90°
∴∠DEA=∠BAD
∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC
又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半
∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半
（3）圆心O在∠BAC的外部
过A作直径AD交⊙O于D，连接CD
∵AD是圆的直径
∴∠ACD=90°
∴∠CDA+∠CAD=90°
∵AB是圆O的切线
∴∠DAB=90°
∴∠BAC+∠CAD=90°
∴∠BAC=∠CDA
∵∠CDA的度数等于弧CmA的度数的一半。
∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
逆定理
定理：以三角形任意一条边为邻边，在三角形外部作一个角等于该边的对角，那么所作角的另一边与三角形外接圆相切，切点为所作角的顶点。
几何描述：设△ABP的外接圆为⊙O，在△ABP外部作∠BAC=∠BPA，则AC切⊙O于A。
注意定理的描述，所作角必须在三角形的外部，且该角与三角形有公共的边。
该定理的等价描述为：角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角。
几何描述：设直线AC与圆相交于A，AB是圆的一条弦，P是圆上与A,B不重合的点。若∠BAC=∠BPA，则∠BAC是弦切角，即AC与圆相切于A。
证明：如图3，同样分类讨论
（1）当∠BPA=90°时，AB为直径。
∠BAC=∠BPA=90°，即AB⊥AC
经过直径的一端，并且与直径垂直的直线是圆的切线，∴AC是⊙O的切线，切点为A。
（2）当∠BPA<90°时，作直径AD，连接PD，则∠DPA=90°
∵∠BAC=∠BPA,∠DAB=∠DPB
∴∠BAC+∠DAB=∠BPA+∠DPB
即∠DAC=∠DPA=90°
由（1）得AC与⊙O切于A
（3）当∠BPA>90°时，作直径AD,连接PD,则∠DPA=90°
∵∠BAC=∠BPA,∠BAD=∠BPD
∴∠BAC-∠BAD=∠BPA-∠BPD
即∠DAC=∠DPA=90°
由（1）得AC切⊙O于A
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。
应用举例
【例1】如图4，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交于点C.
求证：∠CAB=∠CBA。
解：∵AC、BC是⊙O的两条切线
∴AC=BC（切线长定理）
∴∠CAB=∠CBA（等腰三角形中等边对等角）
【例2】如图5，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的圆与BC相切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.
求证：EF//BC.
证明：连接DF
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵∠EFD=∠BAD
∴∠EFD=∠CAD
∵⊙O切BC于D
∴∠FDC=∠CAD
∴∠EFD=∠FDC
∴EF∥BC
【例3】如图6，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C.
求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.
证明：∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠A+∠B=∠A+∠DCA
∴∠ACD=∠B
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B
∴∠MCA=∠ACD
即AC平分∠MCD
同理：BC平分∠NCD
参考来源