龐加萊猜想
| 龐加萊猜想 |
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龐加萊猜想是法國數學家龐加萊提出的一個猜想，是克雷數學研究所懸賞的七個千禧年大獎難題之一。其中三維的情形被俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼於2003年左右證明。2006年，數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。龐加萊猜想是一個拓撲學中帶有基本意義的命題，將有助於人類更好地研究三維空間，其帶來的結果將會加深人們對流形性質的認識。
目錄
龐加萊猜想是病句
1904年，法國數學家亨利·龐加萊在提出了一個拓撲學的猜想:
"任何一個單連通的，封閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。" 簡單的說，一個閉的三維流形就是一個沒有邊界的三維空間;單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間,假如每條封閉的曲線都能收縮成一點,這個空間就一定是一個三維圓球。
後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為"高維龐加萊猜想"。
龐加萊猜想的內容為
任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。
（1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學猜想:在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。）
龐加萊猜想的主項與謂項
主項中有【三維流形】，還有修飾限定主項的定語：單連通和閉流形。 謂項中有【三維球面】。
龐加萊猜想的主項與謂項的關係
在數學中，三維球面是一個具有三個維度的幾何客體，這樣的幾何客體都可以歸類為三維流形。 就是說，主項的內涵與外延全覆蓋謂項。當主項與謂項具有同樣的概念內涵和外延，我們不是採用證明，而是採用種加屬差定義的方法。 所以，將龐加萊猜想（命題）用定義方法：「三維球面就是一個單連通的-閉的三維流形」。
判斷，必須有兩個以上的不同概念；全稱判斷的主項與謂項必須是兩個不同的全異關係的概念
龐加萊猜想的主項與謂項是同一概念的內涵。
全稱判斷的命題通常涉及到一個總體的所有成員都具備某項性質，如果主項包含謂項，就會以偏概全。例如「所有的學生（外延寬的）都是小學生（外延窄的）。這種命題要求對一個整體的每一個成員進行描述，而種屬關係描述的是部分與整體的關係，無法準確反映全稱判斷的邏輯要求。因此，在邏輯推理中，種屬關係不適用於全稱判斷的命題。
龐加萊猜想主項與謂項是種屬關係，是一種真包含關係，是傳遞關係
類似的定義：素數就是大於1並且只能被1和自身整除的自然數（定義是研究搞清楚的問題，例如將自然數劃分為自然數1-素數-合數）。 我們不能用命題形式：任何大於1並且只能被1和自身整除的自然數都是素數（命題是有待於證明的問題）。 主項表示判斷句子主要說明的人或事物；謂項說明主項的動作，狀態或特徵-行為-屬性等。主項與謂項是兩個完全不同的概念。
真包含關係用於判斷，常常出現錯誤
例如「所有的人（外延寬的）都是小學生（外延窄的）」。
判斷句子主項不能包含謂項。或者說命題的主項不能包含謂項。 判斷句子主項與謂項必須是全異關係。 數學命題的謂項一般說主項有多少或者主項是什麼性質，，例如素數有無窮多；e是超越數。素數與無窮多是全異關係；e與超越數是全異關係。
龐加萊猜想的主項與謂項不是全異關係
看到沒有？一個錯誤的句子不具備判斷的功能。
荒唐的證明
不能用一個猜想去證明另外一個猜想，證明構造犯了「預期理由」的邏輯錯誤。
一般認為，龐加萊猜想作出巨大貢獻的，主要是瑟斯頓(Thurston)，他給出了幾何化猜想，認為宇宙一定由八種基本拓撲形狀構成。
第一，在之前，1961年斯梅爾宣稱證明了五維和五維以上成立的結論。1981年弗里德曼宣稱證明了四維成立的結論。
問題1，：什麼是4維和5維？幾何學家從來沒有正確定義過。只有3維和3維以下有明確的文字定義和幾何畫面定義。
有誰能夠畫出一個4維或者5維空間結構，並且說明是在3維結構基礎上的合理解釋。 演繹推理，就是從大範疇中找到小範疇的推理。只有演繹推理形式是必然有效的，因為大範疇的存在，是小範疇存在的充分條件，所以，演繹推理是必然的因果關係推理。
龐加萊猜想：「任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面」。
三維球面（英文常寫作3-sphere）是球面在高維空間中的類比客體。它由四維歐幾里得空間中與一固定中心點等距離的所有點所組成。尋常的球面（或者說二維球面）是一個二維表面，而三維球面是一個具有三個維度的幾何客體，這樣的幾何客體都可以歸類為三維流形。
主項：單連通的，閉的三維流形；謂項：三維的球面。
主項幾乎等於謂項，同語反覆，沒有意義。如果非要證明，只需通過種加屬差方法定義即可。
數學界認為，瑟斯頓三維流形8種構造中有7種不是單連通的，所以剩下的球形就是單連通的。
大前提：瑟斯頓三維空間有8種拓撲形式（A）。
小前提：其中7種不是單連通的(O)。
結論：所以只有球形是單連通的(i)。
這種AOI推理形式是錯誤的，因為三段論規則之一，前提中有否定判斷，結論只能是否定判斷，不能得出一個肯定判斷。
或者使用相容選言推理否定肯定式：
大前提：8種結構，或者是單連通或者不是單連通。
小前提：有7種不是單連通的。
結論：只有球形是單連通的。
推理好像沒有問題，但是，這裡有3個概念：三維流形；單連通；閉流形或者有凸邊界」。
第一，在三維流形下列出8種結構，以單連通劃分，作為區分標準。就算已經得到證明；
第二，也應該將所有的單連通結構列出來，以維數劃分，如果只剩下三維球形才能算數。
第三，還有閉和有界條件下列出其它特徵，以維數和單連通劃分。 閉流形或者有凸邊界」。 佩雷爾曼認為：證明瑟斯頓猜想必須要「閉流形或者有凸邊界」；2005年，Shioya和Yamaguchi修改了佩氏定理7.4的條件，宣稱在無界流形條件下證明了該定理的結論
2002 年 11 月 12 日，佩雷爾曼在 arXiv.org 上公布了自己的證明，並在之後半年中又發布了兩篇系列論文。這三篇文章概述了龐加萊猜想以及更一般的幾何化猜想的證明，從而實現了哈密頓(Hamilton)提出的綱領。並利用幾何化猜想證明了龐加萊猜想。
以上的工作荒唐荒謬荒誕。
第二，佩雷爾曼共發表了三篇網文(preprint)，第二篇網文敘述了一個定理（7.4)卻沒給出證明，只是說在下一篇preprint中給出證明。前兩篇論文的目標是瑟斯頓猜想（其結果包含了龐加萊猜想）。但是，他的『下一篇』卻沒有給出所預報的證明，而是給出龐加萊猜想所需的一些引理。也就是說，佩雷爾曼第二篇論文的定理7.4至今仍未有證明。
2002年，佩雷爾曼貼出兩篇論文，其中第二篇有個定理7.4，從三個條件推導出一個結論。但佩雷爾曼隨後說：「第三個條件可以去掉，具體證明將在下一篇文章中給出」。他隨後到美國講學，說這些方法證明了瑟斯頓猜想（比龐加萊猜想更大的猜想）。回到俄國後，他貼出第三篇論文，並沒有前述定理7.4的證明，只有針對龐加萊猜想的幾個定理。
定理7.4是佩氏的死穴，20年過去了，證明仍沒給出。 在2005年，Shioya和Yamaguchi修改了佩氏定理7.4的條件，宣稱在無界流形條件下證明了該定理的結論。
這足夠說明：佩雷爾曼對瑟氏猜想的解決思路完全錯了，他以為只有「閉或有界」才能解決這一猜想。
佩雷爾曼的定理7.4和Shioya/Yamaguchi隨後發表在學刊上的定理。Shioya/Yamaguchi證明的結果是佩雷爾曼定理的一個特例（closed manifolds）。
這是證明瑟斯頓猜想的重要定理。佩雷爾曼開了頭，但做錯了。
他給了兩個版本：
（1）用三個條件推結論——條件太多，很難應用（這是佩粉克-洛說的）；
（2）只用兩個條件推結論，他自己至今十幾年證不出來。
從兩個證明之區別可以看出，佩雷爾曼認為：證明瑟斯頓猜想必須要「閉流形或者有凸邊界」。而Shioya/Yamaguchi把此條件去了。所以，非常顯然，佩雷爾曼對瑟斯頓猜想的思路錯了。
