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求真百科

  分配格

分配格是一種組合構形,它是滿足下述條件的格:對于格的任意元素x,y和z,均有x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)。由于格中結運算和交運算的對稱性,上述條件等價於x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z),當L為分配格時,交運算對於結運算滿足分配律,而且反之亦真。布爾格、除數格、理想格、鏈等均為分配格。

目錄

簡介

則稱L為分配格,L6′和L6"是格論中最重要的恆等式,稱為分配恆等式或分配律,它們是戴德金(J.W.R.Dedekind)研究數域理想時發現的,格L是分配的當且僅當L不含菱形格和五邊形格。1951年,肖蘭德(M.Sholander)用兩個恆等式:x∧(x∨y)=x和x∧(y∨z)=(z∧x)∨(y∧x)表徵了分配格。分配格的對偶格、子格、直積仍是分配格。分配格的理論是格論的起源和基礎,它對格論的研究、發展和應用起了重大的作用。圖2給出的兩個具有五個元素的不是分配格的格是很重要的,因為可以證明如下的結論:一個格是分配格的充要條件是該格中沒有任何子格與圖2給出的兩個五元素中的任何一個同構應該注意的是,在分配格的定義中,必須是對任意的a,b,c∈S都要滿足分配律。因此,決不能因驗證格中的某些元素滿足分配等式就斷定這個格是分配格。

評價

分配格有類似模格的判定條件定理1 一個格S是分配格,當且僅當S中不含有與鑽石格或五角格同構的子格。定理2 每個鏈是分配格。證明設偏序集(S,≼)是鏈。先證明(S,≼)是格。任取a,b∈S,根據鏈的定義,S中任意兩個元素都有偏序關係,即a≼b或b≼a。不妨設a≼b,則a∨b=b,a∧b=a,所以a∨b∈S,a∧b∈S,從而(S,≼)是格。下面證明(S,≼)是分配格。任取a,b,c∈S,只要討論以下兩種情況:(1)b≼a且c≼a。在此情況下,有b∨c≼a,b∧c≼a,因此a∧(b∨c)=b∨c,a∨(b∧c)=a。又因為b≼a,c≼a,所以a∧b=b,a∧c=c,a∨b=a,a∨c=a,從而(a∧b)∨(a∧c)=b∨c,(a∨b)∧(a∨c)=a∧a=a。於是有a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c),a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨C)。(2)a≼b或a≼c。在此情形下,有a≼b∨C。不妨設a≼b,則a∧(b∨c)=a,且a∧b=a,於是有(a∧b)∨(a∧c)=a∨(a∧c)=口,從而a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)。又由a≼b可得a∨b=b,a∧b=a,從而(a∨b)∧(a∨c)=b∧(a∨c)=(b∧a)∨(b∧c)=a∨(b∧c)。綜上所述,(S,≼)是分配格。定理3 設S是一個分配格,那麼,對於任意的a,b,c∈S,如果有b∨b=a∨c和a∧b=a∧c成立,則必有b=c。證明:由於S是分配格,且已知a∨b=a∨c,a∧b=a∧c,因此b=b∧(a∨b)=b∧(a∨c)=(b∧a)∨(b∧c)=(a∧b)∨(b∧c)=(a∧c)V(b∧c)=(a∨b)∧c=(a∨c)∧c=c。即有b=c,定理得證。[1]

參考文獻

  1. 分配格搜狗