傅里葉級數

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傅里葉級數是中國科技名詞。

世界三大漢語詞典分別是中國大陸的《 漢語大詞典》(共13冊，5.6萬詞條，37萬單詞)、中國台灣的《 中文大辭典 》(共10冊，5萬詞條，40萬單詞)以及日本的《 大漢和辭典 》(共13冊，4.9萬詞條，40萬單詞)。漢字是記錄漢語的文字，它已有六千年左右的歷史，是世界上最古老的文字之一。

目錄

名詞解釋

法國數學家傅里葉認為，任何周期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示（選擇正弦函數與餘弦函數作為基函數是因為它們是正交的），後世稱傅里葉級數為一種特殊的三角級數，根據歐拉公式，三角函數又能化成指數形式，也稱傅立葉級數為一種指數級數。

法國數學家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。

從而極大地推動了偏微分方程理論的發展。在中國，程民德最早系統研究多元三角級數與多元傅里葉級數。他首先證明多元三角級數球形和的唯一性定理，並揭示了多元傅里葉級數的里斯- 博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級數曾極大地推動了偏微分方程理論的發展。在數學物理以及工程中都具有重要的應用。

性質

收斂性

傅里葉級數的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函數表示成的傅里葉級數都收斂。狄利赫里條件如下：

在任何周期內，x(t)須絕對可積；在任一有限區間中，x(t)只能取有限個最大值或最小值；

在任何有限區間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點。

吉布斯現象：在x(t)的不可導點上，如果我們只取（1）式右邊的無窮級數中的有限項作和x(t)，那麼x(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號。

正交性

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0，這也就意味着這兩個向量之間沒有任何相關性，例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數學上的的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。