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交換律

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交換律 是數學內的一個術語,是抽象 代數。給定集合S·上的二元運算,如果對S中的任意a、b滿足:a·b = b·a則稱·滿足交換律。

目錄

基本信息

中文名 交換律 [1]

范 疇 數學名詞

類 型 加法交換律,乘法交換律

含 義 改變順序而不改變其最終結果

基本定義

給定集合S上的二元運算·,如果對S中的任意a,b滿足:

a·b = b·a

則稱·滿足交換律。

舉例信息

1.在四則運算中,加法和乘法都滿足交換律。在小學課本中的表述如下:

加法交換律:兩個數相加,交換加數的位置,它們的和不變.a+b=b+a

乘法交換律:兩個數相乘,交換因數的位置,它們的積不變.a*b=b*a

2.在集合運算中,集合的交,並,對稱差等運算都滿足交換律。

類型

加法交換律

a+b=b+a 有兩個加數相加,交換加數的位置,和不變,這叫做加法交換律。

乘法交換律

a×b=b×a 兩個數相乘,交換因數的位置,積不變,這叫做乘法的交換律。

歷史

對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初,那時數學家開始在研究函數的理論。今日,交換律已被普遍認知,且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。

第一個使用「可交換(commutative)」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記,這一詞在筆記中被用來指有着現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。

相關性質

結合律

結合律和交換律密切相關着。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地,交換律則是指算子的順序不會影響其最終結果的性質。

對稱

對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數,則此一函數會對 y = x 這條線對稱。舉例來說,若設一函數 f 來表示加法(一可交換運算),所以 f(x,y) = x + y 。

參考來源