二元函數
| 二元函數 |
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名稱：二元函數 通常記為；z=f（x，y），（x，y）∈D |
設D是二維空間R2的一個非空子集，稱映射f：D→R為定義在D上的二元函數，通常記為
z=f（x，y），（x，y）∈D
或
z=f（P），P∈D，
其中點集D稱為該函數的定義域，x、y稱為自變量，z稱為因變量.
上述定義中，與自變量x、y的一對值（即二元有序實數組）（x，y）相對應的因變量z的值，也稱為f在點（x，y）處的函數值，記作f（x，y），即z=f（x，y）.函數值f（x，y）的全體所構成的集合稱為函數f的值域，記作f（D），即
f（D）={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}.[1]
目錄
定義
設D是二維空間R2={（x，y）|x，y∈R}的一個非空子集，稱映射f：D→R為定義在D上的二元函數，通常記為
z=f（x，y），（x，y）∈D
或
z=f（P），P∈D，
其中點集D稱為該函數的定義域，x、y稱為自變量，z稱為因變量.
上述定義中，與自變量x、y的一對值（即二元有序實數組）（x，y）相對應的因變量z的值，也稱為f在點（x，y）處的函數值，記作f（x，y），即z=f（x，y）.函數值f（x，y）的全體所構成的集合稱為函數f的值域，記作f（D），即
f（D）={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}.
與一元函數的情形相仿，記號f與f（x，y）的意義是有區別的，但習慣上常用記號「f（x，y），（x，y）∈D」或「z=f（x，y），（x，y）∈D」來表示D上的二元函數f.表示二元函數的記號f也是可以任意選取的.例如也可以記為z=φ（x，y），z=z（x，y）等.
給定平面上一個點集E，對於E來說，平面上任一個點必為下列三種點之一：
（1）E之內點
若對於點M0，存在某個δ>0，使Uδ（M0）⊂E，即存在以M0為心之充分小的開圓整個屬於E，則稱M0為E之內點.
（2）E之外點
若對於點M0，存在某個δ>0，使Uδ（M0）∩E=Ø，即存在以M0為心之充分小的開圓與E不交，則稱M0為E之外點.
（3）E之邊界點
若對於點M0，任意的δ>0都使Uδ（M0）中既有E之點，又有非E之點，即對任意δ>0，Uδ（M0）∩E≠Ø且Uδ（M0）⊄E，則稱M0為E之邊界點.
聚點
設點P∈R2，點集E⊂R2，如果對於任意給定的δ>0，點P的去心鄰域
內總有E中的點，則稱P是E的聚點.
開集、閉集、邊界
若點集E中之點，都是E之內點，則稱E為開集；若點集E包含E之一切邊界點，則稱E為閉集.
E之一切邊界點組成的集合，稱為E之邊界，記作∂E.
連通集
若集合E中任意兩點可以由一條完全在E中之折線連接起來，則稱E為連通集.
（開）區域、閉區域
連通的開集稱為區域或開區域.開區域連通它的邊界一起所構成的點集稱為閉區域.
有界集、無界集
對於平面點集E，如果存在某一正數r，使得E⊂U（O，r），其中O是坐標原點，則稱E為有界集，否則E為無界集.
極限
設二元函數f（P）=f（x，y）的定義域為D，P0（x0，y0）是D的聚點.如果存在常數A，對於任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得當P（x，y）∈D∩
時，都有
|f（P）-A|=|f（x，y）-A|<ε
成立，那麼就稱常數A為函數f（x，y）當（x，y）→（x0，y0）時的極限，記作
或f（x，y）→A（（x，y）→（x0，y0）），
也記作
或f（P）→A（P→P0）.
為了區別於一元函數的極限，我們把二元函數的極限叫做二重極限.
必須注意，所謂二重極限存在，是指P（x，y）以任何方式趨於P0（x0，y0）時，f（x，y）都無限接近於A.因此，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿着一條定直線或定曲線趨於P0（x0，y0）時，即使f（x，y）無限接近於某一確定值，我們還不能由此斷定函數的極限存在.但是反過來，如果當P（x，y）以不同方式趨於P0（x0，y0）時，f（x，y）趨於不同的值，那麼就可以斷定這函數的極限不存在.
關於二元函數的極限運算，有與一元函數類似的運算法則.
連續性
如果函數f（x，y）在點P0（x0，y0）處極限存在且為f（x0，y0），即有
，則稱函數f（x，y）在P0（x0，y0）處連續.
如果函數f（x，y）在區域D內的每一點處都連續，則稱函數f（x，y）在D內連續.
一切二元初等函數在其定義區域內是連續的.所謂定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域.
在有界閉區域D上的二元連續函數，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.
在有界閉區域D上的二元連續函數必取得介於最大值與最小值之間的任何值.
在有界閉區域D上的二元連續函數必定在D上一致連續.
設D為f（x，y）的定義區域，若對於任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得對於D上的任意兩點P1、P2，只要當|P1P2|<δ時，都有|f（P1）-f（P2）|<ε，則稱f（x，y）在D上一致連續.
令二元函數z=f（x，y）的自變量y保持定值y0，這時z就成為自變量x的一元函數.如果這個一元函數z=f（x，y0）在x0處的微商存在，則稱此微商為函數z=f（x，y）在點（x0，y0）處對x的偏微商（或偏導數），記作fx（x0，y0），或記作
zx（x0，y0），
全微分
設函數z=f（x，y）在點（x0，y0）的某鄰域內有定義，若自變量x與y各有增量△x與△y，則稱
△z=f（x0+△x，y0+△y）-f（x0，y0）
為函數f（x，y）在點（x0，y0）的全增量.
如果存在常數A與B，使得函數在點（x0，y0）的全增量△z可以表示為
△z=A△x+B△y+o（ρ）（ρ→0），
其中，則稱A△x+B△y為函數z=f（x，y）在點（x0，y0）的全微分，記作
或df（x0，y0），
這時稱函數z在點（x0，y0）處可微.
若函數在區域D內任一點處都可微，則稱函數在D內是可微的.
若函數f（x，y）在點（x0，y0）處可微，則函數f（x，y）在點（x0，y0）處的兩個偏微商都存在，並且
其中A，B是全微分定義中的常數.
若函數z=f（x，y）的兩個偏微商在點（x0，y0）處連續，則函數f（x，y）在點（x0，y0）處可微.
幾何意義
設M0（x0，y0，f（x0，y0））為曲面z=f（x，y）上的一點，過M0作平面y=y0，截此曲面得一曲線，此曲線在平面y=y0上的方程為z=f（x，y0），則導數，
即偏導數fx（x0，y0），就是這曲線在點M0處的切線M0Tx對x軸的斜率.
參考來源