不可達基數

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不可達基數是全國科學技術名詞審定委員會審定、公布的科技類名詞術語。

中國，從來就是一個文化底蘊極度豐富的國家，中國的文字，更是凝聚着中國的文化精魂。中國最早出現的和文字相關的文化記憶就是倉頡造字，小小的文字中蘊藏了無限的文化，然後就出現了最初的甲骨文。

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名詞解釋

不可達基數(inaccessible cardinals)是強弱不可達基數的統稱。如果K是不可數的、正則的極限基數，則稱是弱不可達基數。如果是不可數的、正則的強極限基數，則稱K是強不可達基數。這兩類大基數合稱不可達基數(或不可到達基數)。

不可達基數是強弱不可達基數的統稱。如果κ是不可數的、正則的極限基數，則稱κ是弱不可達基數；如果κ是不可數的、正則的強極限基數，則稱κ是強不可達基數。這兩類大基數合稱不可達基數(或不可到達基數)，也有文獻只把強不可達基數稱為不可達基數。不可達基數的概念是波蘭數學家謝爾品斯基(Sierpiski，W.)和波蘭學者塔爾斯基(Tarski，A.)於1930年引入的。由於任何基數λ的後繼基數λ+不超過λ的冪2λ，所以每個強不可達基數必為弱不可達基數；又由於在廣義連續統假設GCH之下，λ+=2λ，所以在GCH之下，每個弱不達基數也是強不可達基數。之所以如此稱呼這類大基數，是因為不能用通常的集合論運算來「到達」它們。事實上，若κ是強不可達基數，又集合X的基數|X|<κ，則冪集P(X)的基數也小於κ；又若|S|<κ，且對每個X∈S，|X|<κ，則|∪S|<κ。這就是說，由小於κ的基數，無論進行何種運算，總達不到κ。可數無窮基數N0也具有上述兩條性質，因此，也可以說在有限基數的範圍內，用除去無窮公理之外的任何集論運算，N0也是「不可到達」的。這就清楚地看出，不可達基數確實是無窮基數0的一種自然推廣。「存在不可達基數」已不是ZFC系統的定理。若想肯定這一事實，只有引入大基數公理。事實上，若κ是強不可達基數，則直到κ層的集Vκ就是ZFC系統的模型。這樣，若存在強不可達基數，則ZFC系統便相容。但不可能在ZFC系統中證明ZFC系統的相容性，於是推知：「存在不可達基數」不是ZFC系統的定理。

弱不可達基數

弱不可達基數是一種正則基數。既是極限基數又是正則基數的不可數基數。若Nα為弱不可達基數，則cf(α)=α，且α是極限序數。因為cf(Nα)≤Nα，Nα≥α，所以Nα=α。可見Nα是非常大的。由定義還可看出，不可達基數κ不可能由比它小的基數通過基數的加法、乘法、乘冪和取極限等運算得到。豪斯多夫(Hausdorff，F.)在1908年提出了弱不可達基數的概念。現已知道弱不可達基數的存在性在ZFC系統中是不可證的。

強不可達基數

強不可達基數是一種正則基數。簡稱不可達基數。既是正則的又是強極限的無窮基數。即如果正則基數κ滿足κ>N0，且對任何λ<κ有2λ<κ，κ就是一個強不可達基數。強不可達基數一定是弱不可達的。在廣義連續統假設成立時，每個弱不可達基數也是強不可達的。這時這兩個概念是相同的。在ZFC系統中不能證明不可達基數的存在性。稱這種基數為不可達的原因是它不可能從比它小的基數出發，使用通常的集合論運算得到。

正則基數

正則基數是一種特殊基數。如果α為極限序數，且cf(α)=α，則稱α為正則的。正則的基數稱為正則基數。不正則的無窮基數稱為奇異基數。由於正則的序數一定是基數，故人們對正則的序數、正則序數、正則的基數和正則基數這幾個概念不加區別地使用。通常也有人將ω稱為正則基數，將Nα+1稱為正則序數。正則性是基數的重要概念之一，它由德國數學家豪斯多夫(Hausdorff，F.)於1908年引入。關於正則基數的性質曾引申出許多重要的集合論命題，其中最重要的問題是：是否能在ZF系統中證明存在大於ω的正則基數?一方面，由選擇公理知，N1，N2，…，Nα+1都是大於ω的正則基數。另一方面，以色列集合論學家吉帖克(Gitik，M.)於1979年在假定存在某種大基數真類的情況下，證明了不存在大於ω的正則基數，也是和ZF系統相容的。