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弦切角定理

弦切角定理

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中文名;弦切角定理

外文名;Alternate Segment Theorem


应用学科;数学

适用领域范围;数学

弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

与圆相切的直线,同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。[1]

目录

弦切角定义

顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角

如图1所示,线段PT所在的直线切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

等于它所夹的弧的圆周角度数。

如图2,已知:直线PT切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦。

求证:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

证明:设圆心为O,连接OC,OB,。

∵∠OCB=∠OBC

∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)

又∵∠BOC=2∠BAC

∴∠OCB=90°-∠BAC

∴∠BAC=90°-∠OCB

又∵∠TCB=90°-∠OCB

∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

综上所述:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

衍生及证明

已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切线,A为切点,弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.

求证:弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

证明:分三种情况:

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径

∴弧CmA=弧CA

∵弧CA为半圆,

∴弧CmA的度数为180°

∵AB为圆的切线

∴∠CAB=90°

∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

(2)圆心O在∠BAC的内部.

过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点E,

连接EC、ED、EA。则

∵弧CD=弧CD

∴∠CED=∠CAD

∵AD是圆O的直径

∴∠DEA=90°

∵AB为圆的切线

∴∠BAD=90°

∴∠DEA=∠BAD

∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC

又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半

弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

(3)圆心O在∠BAC的外部

过A作直径AD交⊙O于D,连接CD

∵AD是圆的直径

∴∠ACD=90°

∴∠CDA+∠CAD=90°

∵AB是圆O的切线

∴∠DAB=90°

∴∠BAC+∠CAD=90°

∴∠BAC=∠CDA

∵∠CDA的度数等于弧CmA的度数的一半。

∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

逆定理

定理:以三角形任意一条边为邻边,在三角形外部作一个角等于该边的对角,那么所作角的另一边与三角形外接圆相切,切点为所作角的顶点。

几何描述:设△ABP的外接圆为⊙O,在△ABP外部作∠BAC=∠BPA,则AC切⊙O于A。

注意定理的描述,所作角必须在三角形的外部,且该角与三角形有公共的边。

该定理的等价描述为:角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角。

几何描述:设直线AC与圆相交于A,AB是圆的一条弦,P是圆上与A,B不重合的点。若∠BAC=∠BPA,则∠BAC是弦切角,即AC与圆相切于A。

证明:如图3,同样分类讨论

(1)当∠BPA=90°时,AB为直径。

∠BAC=∠BPA=90°,即AB⊥AC

经过直径的一端,并且与直径垂直的直线是圆的切线,∴AC是⊙O的切线,切点为A。

(2)当∠BPA<90°时,作直径AD,连接PD,则∠DPA=90°

∵∠BAC=∠BPA,∠DAB=∠DPB

∴∠BAC+∠DAB=∠BPA+∠DPB

即∠DAC=∠DPA=90°

由(1)得AC与⊙O切于A

(3)当∠BPA>90°时,作直径AD,连接PD,则∠DPA=90°

∵∠BAC=∠BPA,∠BAD=∠BPD

∴∠BAC-∠BAD=∠BPA-∠BPD

即∠DAC=∠DPA=90°

由(1)得AC切⊙O于A

若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等。

应用举例

【例1】如图4,在⊙O中,⊙O的切线AC、BC交于点C.

求证:∠CAB=∠CBA。

解:∵AC、BC是⊙O的两条切线

∴AC=BC(切线长定理)

∴∠CAB=∠CBA(等腰三角形中等边对等角)

【例2】如图5,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,经过点A的圆与BC相切于点D,与AB,AC分别相交于E,F.

求证:EF//BC.

证明:连接DF

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠BAD=∠CAD

∵∠EFD=∠BAD

∴∠EFD=∠CAD

∵⊙O切BC于D

∴∠FDC=∠CAD

∴∠EFD=∠FDC

∴EF∥BC

【例3】如图6,ΔABC内接于⊙O,AB是⊙O直径,CD⊥AB于D,MN切⊙O于C.

求证:AC平分∠MCD,BC平分∠NCD.

证明:∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠A+∠B=∠A+∠DCA

∴∠ACD=∠B

∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B

∴∠MCA=∠ACD

即AC平分∠MCD

同理:BC平分∠NCD

参考来源

弦切角定理和切割线定理

参考资料

  1. 弦切角定理,360搜索 , 2020-07-06