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| 连通性 |
连通性是‘点集拓扑学’中的基本概念，把‘连通性’定义如下：对于拓扑空间X，（1）若X中除了空集和X本身外，没有别的既开又闭的子集，则称此‘拓扑空间X是连通的’。（2）若E作为X的子空间，E在诱导拓扑下是可连通的，则称拓扑空间X的子集E，是连通的。由此，能够等价描述E的内涵有下面3点：1） 若X不能表示为两个非空不交的开集的并，则，拓扑空间X是连通的。2）若当X分成两个非空子集A、B时，并且满足A∪B时，有A交B的闭包非空，或B交A的闭包非空，则称拓扑空间X是连通的。3）若X中既开又闭的子集只有X与空集，则称，拓扑空间X是连通的。
简介
（1）实数集的子集是连通的，当且仅当它是一个区间；（2）连通性由同胚保持，从而是空间的拓扑性质；（3）设Ω是X的一族子集，它们的并是整个空间X，每个Ω中的个体连通，且两两不分离（即任意两个集合的闭包有非空交），则称为‘X连通’；（4）若X、Y连通，则乘积空间X×Y连通。定义1：设X是一个拓扑空间。如果X中有两个非空的隔离子集A和B，使得X= A∪ B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间。局部连通的拓扑空间也不必是连通的。例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包含着多于一个点的离散空间却不是连通空间。又例如，n维欧氏空间 的任何一个开子空间都是局部连通的(这是因为每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间，因而是连通的)，特别地，欧氏空间本身是局部连通的。另一方面，欧氏空间中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通的。
评价
此外根据定义立即可见：拓扑空间X在点x X处是局部连通的当且仅当x的所有连通邻域构成点二处的一个邻域基。定义3：设X是一个拓扑空间，如果对于任何x, y，存在着X中的一条从x到y的道路(或曲线)，我们则称X是一个道路连通空间。X中的一个子集Y称为X中的一个道路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间。实数空间R是道路连通的，这是因为如果x, y R，则连续映射f： [0,1] R定义为对于任何t [0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一条以x为起点以y为终点的道路。也容易验证任何一个区间都是道路连通的假设有个整数对，p-q解释为p与q连通。如图1所示。如果新输入的对，可以由以前的输入对连通，就不会输出；如果不能由以前的对连通，就输出这个对。例如2-9不在输出之列，因为前面的对存在2-3-4-9的连通。[1]