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| 贝叶斯统计 |
英国学者托马斯·贝叶斯在《论有关机遇问题的求解》中提出一种归纳推理的理论，后被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法，称为贝叶斯方法。采用这种方法作统计推断所得的全部结果，构成贝叶斯统计的内容。认为贝叶斯方法是唯一合理的统计推断方法的统计学者，组成数理统计学中的贝叶斯学派，其形成可追溯到 20世纪 30 年代。到50～60年代，已发展为一个有影响的学派。时至今日，其影响日益扩大。
简介
它是总体分布参数θ的一个概率分布。贝叶斯学派的根本观点，是认为在关于θ的任何统计推断问题中，除了使用样本X所提供的信息外，还必须对θ规定一个先验分布，它是在进行推断时不可或缺的一个要素。贝叶斯学派把先验分布解释为在抽样前就有的关于θ的先验信息的概率表述，先验分布不必有客观的依据，它可以部分地或完全地基于主观信念。例如，某甲怀疑自己患有一种疾病A，在就诊时医生对他测了诸如体温、血压等指标，其结果构成样本X。引进参数θ：有病时，θ=1；无病时，θ=0。X的分布取决于θ是0还是1，因而知道了X有助于推断θ是否为1。按传统（频率）学派的观点，医生诊断时，只使用X提供的信息；而按贝叶斯学派观点，则认为只有在规定了一个介于0与1之间的数p作为事件{θ=1}的先验概率时，才能对甲是否有病（即θ是否为1）进行推断。p这个数刻画了本问题的先验分布，且可解释为疾病A的发病率。先验分布的规定对推断结果有影响，如在此例中，若疾病A的发病率很小，医生将倾向于只有在样本X显示出很强的证据时，才诊断甲有病。在这里先验分布的使用看来是合理的，但贝叶斯学派并不是基于 “p是发病率”这样一个解释而使用它的，事实上即使对本病的发病率毫无所知，也必须规定这样一个p，否则问题就无法求解。
评价
贝叶斯学派与频率学派争论的焦点在于先验分布的问题。所谓频率学派是指坚持概率的频率解释的统计学家形成的学派。贝叶斯学派认为先验分布可以是主观的，它没有也不需要有频率解释。而频率学派则认为，只有在先验分布有一种不依赖主观的意义，且能根据适当的理论或以往的经验决定时，才允许在统计推断中使用先验分布，否则就会丧失客观性。另一个批评是：贝叶斯方法对任何统计问题都给以一种程式化的解法，这导致人们对问题不去作深入分析，而只是机械地套用公式。贝叶斯学派则认为：从理论上说，可以在一定条件下证明，任何合理的优良性准则必然是相应于一定先验分布的贝叶斯准则，因此每个统计学家自觉或不自觉地都是“贝叶斯主义者”。他们认为，频率学派表面上不使用先验分布，但所得到的解也还是某种先验分布下的贝叶斯解，而这一潜在的先验分布，可能比经过慎重选定的主观先验分布更不合理。其次，贝叶斯学派还认为，贝叶斯方法对统计推断和决策问题给出程式化的解是优点而非缺点，因为它免除了寻求抽样分布，（见统计量）这个困难的数学问题。而且这种程式化的解法并不是机械地套公式，它要求人们对先验分布、损失函数等的选择作大量的工作。还有，贝叶斯学派认为，用贝叶斯方法求出的解不需要频率解释，因而即使在一次使用下也有意义。反之，根据概率的频率解释而提供的解，则只有在大量次数使用之下才有意义，而这常常不符合应用的实际。这两个学派的争论是战后数理统计学发展中的一个特色。这个争论还远没有解决，它对今后数理统计学的发展还将产生影响。[1]