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離散時間傅里葉變換

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中文名: 離散時間傅里葉變換 外文名: Discrete-time Fourier Transform 別 稱: DTFT 提出者: 傅里葉

離散時間傅里葉變換（英語：Discrete-time Fourier Transform，簡稱：DTFT）是傅里葉變換的一種。它將以離散時間nT（其中，T為採樣間隔）作為變量的函數（離散時間信號）變換到連續的頻域，即產生這個離散時間信號的連續頻譜，值得注意的是這一頻譜是周期的。

定義

正變換：

逆變換：

性質

DTFT也有很多與CTFT類似的性質，當然也有某些明顯的差別。下面對這些性質進行簡單闡述及必要證明。

通過對DTFT性質的討論，目的在於揭示信號時域和頻域特性之間的關係。

周期性；k為整數

線性性

DTFT為線性變換，因此有

時間反轉

因此有：共軛對稱性

因此有：卷積特性

即：

該特性提供了對LTI系統進行頻域分析的理論基礎。

相乘特性

對偶性

對偶性的討論為我們進一步認識連續時間信號、離散時間信號、周期信號與非周期信號頻域描述之間存在的重要內在聯繫,提供了重要的理論根據。

離散時間傅里葉變換的導出

針對離散時間非周期序列，為了建立它的傅里葉變換表示，我們將採用與連續情況下完全類似的步驟進行。

考慮某一序列 x[n]，它具有有限持續期；也就是說，對於某個整數 N1 和 N2，在 −N1⩽N⩽N2 以外，x[n]=0。下圖給出了這種類型的一個信號。