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离散时间傅里叶变换

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中文名: 离散时间傅里叶变换 外文名: Discrete-time Fourier Transform 别 称: DTFT 提出者: 傅里叶

离散时间傅里叶变换（英语：Discrete-time Fourier Transform，简称：DTFT）是傅里叶变换的一种。它将以离散时间nT（其中，T为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱，值得注意的是这一频谱是周期的。

定义

正变换：

逆变换：

性质

DTFT也有很多与CTFT类似的性质，当然也有某些明显的差别。下面对这些性质进行简单阐述及必要证明。

通过对DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。

周期性；k为整数

线性性

DTFT为线性变换，因此有

时间反转

因此有：共轭对称性

因此有：卷积特性

即：

该特性提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础。

相乘特性

对偶性

对偶性的讨论为我们进一步认识连续时间信号、离散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述之间存在的重要内在联系,提供了重要的理论根据。

离散时间傅里叶变换的导出

针对离散时间非周期序列，为了建立它的傅里叶变换表示，我们将采用与连续情况下完全类似的步骤进行。

考虑某一序列 x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数 N1 和 N2，在 −N1⩽N⩽N2 以外，x[n]=0。下图给出了这种类型的一个信号。