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| 巴拿赫空间 |
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巴拿赫空间理论(Banach space)是1920年由波兰数学家巴拿赫(S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。
简介
在数学里，尤其是在泛函分析之中，巴拿赫空间是一个完备赋范矢量空间。更精确地说，巴拿赫空间是一个具有范数并对此范数完备的矢量空间。
巴拿赫空间有两种常见的类型:"实巴拿赫空间"及"复巴拿赫空间"，分别是指将巴拿赫空间的矢量空间定义于由实数或复数组成的域之上。
许多在数学分析中学到的无限维函数空间都是巴拿赫空间，包括由连续函数(紧致赫斯多夫空间上的连续函数)组成的空间、由勒贝格可积函数组成的L空间及由全纯函数组成的哈代空间。上述空间是拓扑矢量空间中最常见的类型，这些空间的拓扑都来自其范数。
巴拿赫空间是以波兰数学家斯特凡·巴拿赫的名字来命名，他和汉斯·哈恩及爱德华·赫丽于1920-1922年提出此空间。
评价
巴拿赫空间定义 空间X，若有从X到R的函数‖x‖使得:①‖x‖≥0,‖x‖=0必须且只须x=0,②对α ∈K,有‖αx‖=α‖x‖，③‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖，则称X为线性赋范空间，而称‖x‖为范数。 显然，范数这概念是Rn中向量长度概念的推广。如同有理数系可完备化为实数系，任何线性赋范空间也可按照距离d(x,y)=‖x-y‖作为度量空间而完备化。
完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。例如，设Ω为紧豪斯多夫空间，令C(Ω)表示Ω上一切实(或复)值连续函数的全体，则C(Ω)关于范数成为一个巴拿赫空间。再如，设(Ω，μ)是正测度空间，令Lp(Ω，μ)表示Ω上一切p(p≥1)次可求和函数的全体，则Lp(Ω，μ)关于范数成为一个巴拿赫空间。特别取Ω={1,2,3,…},μ(n)=1(当n=1、2、3、…)则相应的Lp(Ω，μ)成为满足条件的数列的全体，而相应的范数为。一般记这个特殊的Lp(Ω，μ)为lp。还如，设(Ω，β，μ)是正测度空间，对Ω上可测的函数?(t),如果有正数α，使于Ω几乎处处有│?|(t)|≤α，则称 ?(t)为本性有界的函数，而记上述诸α之下确界为。令L∞(Ω)表示Ω上之本性有界函数的全体，则L∞(Ω)关于范数成为一个巴拿赫空间。特别对Ω={1,2,3,…}而μ(n)=1(n=1,2,3,…)则相应的L∞(Ω)即有界数列的全体，而相应的范数为。一般记这个特殊的L∞(Ω)为m。
基 作为完全就范直交函数系的推广，设是巴拿赫空间X中的序列，如果对每个x ∈X 都恰有一数列，使，则称为X 的基，而称X为有基的空间。凡有基的空间一定是可分的，对于许多可分空间，人们具体地构造出它们的基。但是，是否每个可分的巴拿赫空间都有基的问题，直到1973年才由P.恩夫洛举出反例。确有可分而没有基的巴拿赫空间。
线性算子 线性算子设T是从实(或复)域性空间X中线性流形M到F上的线性空间Y的映射，如果 则称T是线性算子，M为T的定义域，记作D(T)。特别当M=X 而Y为数域F 时，T 便称为X上的线性泛函。 设X、Y都是赋范线性空间，x0∈D(T)，若对D(T)中任何收敛于x0的序列都有 Txn→Tx0，则称T 在x0处连续。设D(T)=X,则线性算子T 在X 上每点都连续必须且只须T是有界的，即。这时还称为T的范数，记作‖T‖。 设X与Y都是数域F上的线性空间，A与B都是从X到Y的线性算子，对A与B可定义如下的运算:(A+B)x=Ax+Bx，(αA)x=α(Ax),当x∈X,α∈F又定义(AB)x=A(Bx),x∈X，当 A与B都是从X到X的线性算子时。若线性算子T是单射的，则将它的逆映射记作T-1，而Ix=x则称为单位算子或恒等算子。 设H为度量空间，，对 x0 ∈E,若有小球，则称x0在E的内部。若点集S的闭包埅之内部是空的，则称S在H中无处稠密。若度量空间H中的点集，而每个Sn皆在H中无处稠密，则称E为H中第一纲的点集。H中非第一纲的点集叫做第二纲的。显然全体有理数在实轴上便是第一纲的。可以这样想:第一纲的点集是比较稀疏的。
里斯表现定理 设Ω是紧豪斯多夫的C(Ω)上的连续线性泛函?(x)，便恰有Ω上的一个复正则波莱尔测度μ使 (1)并且‖?‖=μ在Ω上的全变差 |μ|。许多人把这结果称作里斯表现定理。它是发展近代算子谱论的重要工具，还有着其他多方面的应用。这定理也可推广至局部紧豪斯多夫空间。许多测度来源于此定理。 设Ω上所有复的正则波莱尔测度为m(Ω)，对每个μ∈m(Ω)，由(1)式定义的?(x)是C(Ω)上的连续线性泛函，定义‖μ‖=全变差|μ|,则C(Ω)*保范同构于m(Ω)。 例如，于正测度μ，有Lp(Ω，μ)(1<p<∞)上每个连续线性泛函?(x)皆可表为 (2)式中z(t)∈Lq(Ω，μ),而，并且。另一方面，由(2)式右端定义的泛函在【Lp(Ω，μ)】*中，总之【Lp(Ω，μ)】*保范同构于Lq(Ω，μ)。 再如，于δ-有限的正测度μ，有L1(Ω，μ)上的连续线性泛函?(x)可表为 (3)式中z(t)∈L∞(Ω，μ),并且另一方面，由(3)定义的泛函在 【L1(Ω)】*中。总之，【L1(Ω，μ)】*保范同构于L∞(Ω，μ)。 由于古典分析发展的要求，也因为巴拿赫空间理论本身的需要，于是人们研究X与X*之间的关系，这便是对偶理论。这理论的主要工具是哈恩-巴拿赫扩张定理:设M是线性赋范空间X的闭线性子空间，则①对M上的连续线性泛函g(x),恒有?(x)∈X*使?(x)=g(x),当x∈M,又‖?‖=‖g‖();②对X中任给的x0≠0，恒有 ?(x)∈X* 使 ?(x0)=‖x0‖，‖?‖=1，③对任意，恒有?(x)∈X*当x∈M使得?(x)=0，?(x0)=1,并且‖?‖=1/d，这里。 设?(x)∈X*,一般称点集H={x∈X;?(x)=常数C}为X中的闭超平面。设M是X的子空间，x0∈X,则称点集x0+M为X中的线性簇。这样，哈恩-巴拿赫定理便有如下的几何解释:若X中的线性簇m与非空的开凸集K不相交，则有闭超平面H使而。
完备的度量空间必定是第二纲的。这是区间套定理的发展和提高，在证明许多存在定理时是很有用处的。在勒贝格关于奇异积分与O.特普利茨关于正则求和法以及哈恩关于插值理论等方面的研究之后，巴拿赫与H.斯坦豪斯在1927年给出共鸣定理。 共鸣定理 又称一致有界原理。设X是巴拿赫空间，Y是线性赋范空间，是一族从X到Y的有界线性算子。如果当x∈X，则。这是有着多方面应用的重要定理，是纲定理的直接推论。和纲推理密切相关，还有极著名的开映射定理。
开映射定理 设X与Y都是巴拿赫空间，若T是从X到Y的有界线性算子，且TX=Y,则T变X的开集为Y中的开集。这在有限维空间是平凡的，但在无限维空间却是极为深刻有力的工具。它有下列重要推论。
开映射定理还有一个关于闭算子的重要推论。设y=Tx是线性的，若从 恒有x0∈D(T)且，则称T为闭算子。闭算子在应用上是非常重要的概念。表面上，闭性与连续性很相似，其实差异不小，因为连续性是从较少的假设xn→x0到更多的结论且。一般称X×Y中之G(T)={<x,Tx>;x∈D(T)}为 T的图像。易见T是闭算子，则G(T)按范数‖<x,y>‖=‖x‖+‖y‖是闭的点集。
巴拿赫逆算子定理 设X与Y都是巴拿赫空间，若T是从X到Y的有界线性算子，且T是一对一的，又TX=Y，则T-1连续。
闭图像定理 设X与Y都是巴拿赫空间，若T是从X到Y的线性算子，则T是有界的必须且只须G(T)是闭的。 共轭算子 设X与Y都是巴拿赫空间。若线性算子T的定义域D(T)在X中稠密，而T 的值都在Y中，如果对有x*∈X*使当x∈D(T)时，y*(Tx)=x*(x)则x*由y*惟一确定，记作T┡y*=x*,一般称T┡为T的共轭算子或对偶算子。特别当T是从X到Y的有界线性算子时，则T┡也是有界的，且‖T┡‖=‖T‖。显然，共轭算子是转置矩阵的推广，所以它自然地在研究方程Tx=y时起着重要的作用。 设A为巴拿赫空间X上的线性算子，称N(A)={x;Ax=0}为A的零空间，R(A)={y;y=Ax,x∈D(A)}为A的值域。从线性方程组的解，已经看到A与A┡之值域与零空间的密切关系，后来在弗雷德霍姆理论中又再次看到这点。 对点集，所谓M在X*中的零化子即 而于点集，则G在X中之零化子即。设A为巴拿赫空间上有界线性算子，则，，，。若又设X 自反，则。 闭值域定理 设X与Y是巴拿赫空间，而T是从X到Y的闭线性算子，且，则下列命题等价:①R(T)在Y 中是闭的，②R(T┡)在X*中是闭的，③④。[1]