反比查看源代码讨论查看历史
| 反比 |
 |
反比两个变量的乘积为常数时的比例关系两个事物或一事物的两个方面，一方 发生变化，其另一方随之起相反的变化，如老年人随着年龄的增长，体力反而逐渐衰弱，就是反比。把一个比的前项作为后项，后项作为前项，所构成的比和原来的比互为反比。如9：3和3：9互为反比。速度和时间成反比，时间和路程是成正比。
基本信息
中文名 反比 [1]
意思 两个变量的乘积为常数时的比例关系
反义词 正比
拼音 fanbi
基本资料
两个变量的乘积为常数时的比例关系
①两个事物或一事物的两个方面，一方 发生变化，其另一方随之起相反的变化，如老年人随着年龄的增长，体力反而逐渐衰弱，就是反比。
②把一个比的前项作为后项，后项作为前项，所构成的比和原来的比互为反比。如9：3和3：9互为反比。
③速度和时间成反比，时间和路程是成正比。
例如：当k值一定时，x×y=k，中x与y成反比。
④当两个量的积是一个常数，这种关系叫做反比。
一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0）[1]，其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k大于0时，图像在一、三象限。k小于0时，图像在二、四象限.k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。
（即：y等于k乘x的-1次方）(k为常数且k≠0，x≠0）
自变量的取值范围
① 在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数；
②函数 y 的取值范围也是任意非零实数。解析式
其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数，即 {x|x≠0,x∈R}。下面是一些常见的形式：（k为常数(k≠0），x不等于0）反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
列表
x ... -3 -2 -1 1 2 3 4 ... y ... -4 -6 -12 12 6 4 3 ...
用平滑的曲线连接点
过反比例函数（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
相交性
因为在(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图像不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。
面积
反比例函数上一点 向 、 轴分别作垂线，交于 、 ，则QOWM（ 为原点）的面积为 ，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT△OMQ的面积=½
图像表达
反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=±x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。反比例函数图像不与x轴和y轴相交。 的渐近线为：x轴与y轴。k值相等的反比例函数图像重合，k值不相等的反比例函数图像永不相交。|k|越大，反比例函数的图像离坐标轴的距离越远。
对称性
反比例函数图像是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，反比例函数图像上的点关于坐标原点对称。所以，它的图像的对称轴是：如果图像在一、三象限，则对称轴为二、四象限的角平分线Y=-X，如果图像在二、四象限，则对称轴为一、三象限的角平分线Y=X。图像关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。反比例函数关于正比例函数y=±x轴对称,并且关于原点中心对称。
与正比例函数交点
设在平面内有反比例函数 和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点。
参考来源