檢視自由布尔代数的原始碼

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| style="background: #66CCFF" align= center|  '''<big>自由布尔代数</big> '''

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|[[File:自由布尔代数.jpg|230px|缩略图|居中|[https://img2.doubanio.com/view/subject/s/public/s5943052.jpg 原图链接]
[https://book.douban.com/subject/3235815/ 来自 豆瓣 的图片]]]

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中文名: 自由布尔代数

学 科: 数学分支抽象代数

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'''自由布尔代数'''是布尔代数 <B,F>，使得集合 B (叫做“载体”)有其中元素叫做生成元的子集。

==介绍==

在[[数学]]分支抽象代数中，自由布尔代数是布尔代数<B,F>，使得集合B(叫做“载体”)有其中元素叫做生成元的子集。生成元满足下列性质:

不是生成元的每个B的元素都可被表达为生成元的使用F的元素的有限组合，F是运算的集合；

生成元尽可能的独立，因为对从生成元使用F中运算形成的有限项成立的任何等式，也要对于所有可能的布尔代数的所有元素成立<ref>[https://www.sohu.com/a/207914813_729336 科普鹤庆第195期：《熊小米读科学》70集：为什么说布尔代数是计算机的基本运算方式  ]，搜狐， 2017-12-01</ref>。

==例子==

自由布尔代数的生成元可以代表独立命题。例如，我们可以考虑两个命题 "John 高" 和 "Mary 富"。这生成了有四个[[原子]]的自由布尔代数，它们就是

John 高且 Mary 富

John 高且 Mary 不富

John 不高且 Mary 富

John 不高且 Mary 不富

布尔代数的其他元素接着是这些原子的逻辑析取，比如 "John 高且 Mary 不富，或者 John 不高且 Mary 富"。除此之外还有一个元素 FALSE，它不是原子的析取(尽管它可以被认为是空析取；就是说没有原子的析取)。

这个例子产生了有 16 个[[元素]]的布尔代数；一般的说，对于有限的n，有n个生成元的自由布尔代数有 2个原子，因此有

个元素。

对于无限多个生成元，情况是非常相似的，除了没有原子之外。布尔代数的所有元素都是有限多个生成命题的组合；两个这种元素被认为是相同的如果它们是逻辑等价的。

==范畴论定义==

更加正式的使用范畴论的概念，在生成元集合S上自由布尔代数是一个有序对 (π,B)，这里有

π:S→B是映射，

B是布尔代数，

并且关于这个性质是通用的。这意味着对于任何布尔代数B1和映射 π1: S →B1，有一个唯一的同态f:B→B1使得

这个泛性质也可以公式化为叫做逗号范畴的初始性质。

“唯一”（在同构的意义下）是从这个泛性质立即得出的性质。注意映射 π 可以被证明是单射的。所以任何自由布尔代数B都这样的性质，有一个B的子集S，叫做B的生成元集合，使得从S到布尔代数B1的任何映射唯一的扩展为从B到B1的同态。

==拓扑实现==

有κ个生成元的自由布尔代数，这里的κ是有限或无限的基数，可以被实现为 {0,1}的闭开的子集的搜集，给定乘积拓扑假定 {0,1} 有离散拓扑。对于每个α<κ，第α个生成元是其第α个坐标是 1 的 {0,1}的所有元素的集合。特别是，有。

自由布尔代数的拓扑方式详情请参见Stone布尔代数表示定理。

==视频==
===<center> 自由布尔代数 相关视频</center>===
<center>019.布尔代数与逻辑电路</center>
<center>{{#iDisplay:j1429zjb7eh|560|390|qq}}</center>

<center>「Coding Master」第2话 二进制算术与布尔</center>
<center>{{#iDisplay:z32160uo8qi|560|390|qq}}</center>

==参考文献==
[[Category:310 數學總論  ]]