檢視线性规划的原始碼

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| style="background: #E6C3C3" align= center|  '''<big>线性规划</big>'''
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中文名:线性规划

外文名:linear programming

所属学科:运筹学

研究内容:线性最优化问题
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'''线性规划'''（Linear programming,简称LP），是[[运筹学]]中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行[[科学管理]]的一种[[数学方法]]，是研究[[线性约束条件]]下[[线性目标函数]]的[[极值问题]]的数学理论和方法。

线性规划是运筹学的一个重要分支，广泛应用于[[军事作战]]、[[经济分析]]、[[经营管理]]和[[工程技术]]等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。
==线性规划简介==
===数学模型===
（1）列出约束条件及目标函数

（2）画出约束条件所表示的可行域

（3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值

==标准型==
描述线性规划问题的常用和最直观形式是标准型。标准型包括以下三个部分：

一个需要极大化的线性函数：

以下形式的问题约束：

和非负变量：

其它类型的问题，例如极小化问题，不同形式的约束问题，和有负变量的问题，都可以改写成其等价问题的标准型。
==模型建立==
===从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：===

1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；

2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；

3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

===所建立的数学模型具有以下特点：===
1、每个模型都有若干个[[决策变量]]（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种[[方案]]，同时决策变量一般是非负的。

2、目标函数是决策变量的[[线性函数]]，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。

3、约束条件也是决策变量的线性函数。

当我们得到的[[数学模型]]的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或[[不等式]]时称此数学模型为线性规划模型。

===例：===
生产安排模型：某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表所示，表中右边一列是每日设备能力及原材料供应的限量，该工厂生产一单位产品Ⅰ可获利2元，生产一单位产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产，使其获利最多？

解：

1、确定决策变量：设x1、x2分别为产品Ⅰ、Ⅱ的生产数量；

2、明确目标函数：获利最大，即求2x1+3x2最大值；

3、所满足的约束条件：

设备限制：x1+2x2≤8

原材料A限制：4x1≤16

原材料B限制：4x2≤12

基本要求：x1，x2≥0

用max代替最大值，s.t.（subject to 的简写）代替约束条件，则该模型可记为：

max z=2x1+3x2

s.t. x1+2x2≤8

4x1≤16

4x2≤12

x1，x2≥0
==解法==
求解[[线性规划问题]]的基本方法是[[单纯形法]]，已有单纯形法的标准软件，可在[[电子计算机]]上求解约束条件和决策变量数达 10000个以上的线性规划问题。为了提高解题速度，又有改进单纯形法、[[对偶单纯形法]]、[[原始对偶方法]]、[[分解算法]]和各种多项式时间算法。对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用[[图解法]]求解。这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。
==发展==
法国数学家J.- B.- J.[[傅里叶]]和C.[[瓦莱－普森]]分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。

1939年[[苏联]]数学家Л.В.[[康托罗维奇]]在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视。<ref>[https://zhuanlan.zhihu.com/p/509030805 线性规划简介]，知乎</ref>

1947年[[美国]]数学家G.B.Dantzing提出求解线性规划的单纯形法，为这门学科奠定了基础。

1947年美国数学家J.von[[诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。

1951年美国经济学家T.C.[[库普曼斯]]把线性规划应用到经济领域，为此与[[康托罗维奇]]一起获1975年[[诺贝尔经济学奖]]。

50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的[[算法]]。例如，1954年C.[[莱姆基]]提出对偶单纯形法，1954年S.[[加斯]]和T.[[萨迪]]等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年A.[[塔克]]提出互补松弛定理，1960年G.B.[[丹齐克]]和P.[[沃尔夫]]提出分解算法等。

线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。
1979年苏联数学家L. G. Khachian提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。

1984年美国贝尔电话实验室的[[印度]]数学家N.[[卡马卡]]提出解线性规划问题的新的多项式时间算法。用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。现已形成线性规划多项式算法理论。50年代后线性规划的应用范围不断扩大。 建立线性规划模型的方法
==应用==
在企业的各项管理活动中,例如计划、生产、运输、技术等问题，线性规划是指从各种限制条件的组合中，选择出最为合理的计算方法，建立线性规划模型从而求得最佳结果。
==视频==
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===线性规划问题===
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==参考资料==

[[Category:319 應用數學；機率]]