檢視燕尾定理的原始碼

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| style="background: #008080" align= center|  '''<big> 燕尾定理</big> '''

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[[File:T016aea950f73da4524.jpg|缩略图|居中|[https://p1.ssl.qhimg.com/t016aea950f73da4524.jpg   原图链接][https://baike.so.com/gallery/list?ghid=first&pic_idx=1&eid=5328726&sid=5563898  来自 360 的图片]]]
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燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有 S△AOB∶S△AOC=BD∶CD S△AOB∶S△COB=AE∶CE S△BOC∶S△AOC=BF∶AF 因此图类似[[燕尾]]而得名。是五大模型之一，是一个关于平面[[三角形]]的定理，俗称[[燕尾定理]]。
=='''基本信息'''==
中文名；
三角定理

外文名；
Dovetail theorem

别称；
燕尾定理

表达式；
BF:FC=S△BFD:S△FDC=S△ABD:S△ADC

应用学科；
数学

适用领域范围；
平面三角形图形

名称由来；
因图类似[[燕尾]]

验证推导；
证法1：下面的是第一种方法：[[利用]]分比性质(若a÷b=c÷d，则(a-b)÷b=(c-d)÷d，b≠0，d≠0，)

注：∵(a-b)÷b=a÷b-b÷b=a÷b-1，

(c-d)÷d=c÷d-d÷d=c÷d-1，

a/b=c/d

∴(a-b)÷b=(c-d)÷d

∵△ABD与△ACD同高


∴S△ABD：S△ACD=BD：CD

同理，S△OBD：S△OCD=BD：CD

利用分比性质，得

S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD

即S△AOB：S△AOC=BD：CD

命题得证。

(由此可得：若X：Y=a∶b，X1∶Y1=a∶b；则(X±X1)∶(Y±Y1)=a∶b.其中Y、Y1≠0，Y≠Y1且Y-≠Y1)

证法2：相似三角形法

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：AE=CE 证明：

过点O作MN∥BC，，交AB于点M，AC于点N；

过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。

∵MN∥BC

∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD

∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD

∴MO：BD=NO：CD

∵AD是△ABC的一条中线

∴BD=CD

∴MO=NO

∵PQ∥AB

∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF

∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF

∴PO：BF=QO：AF

∵CF是△ABC的一条中线

∴AF=BF

∴PO=QO

∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO

∴△MOP≌△NOQ(SAS)

∴∠MPO=∠NQO

∴MP∥AC(内错角相等，两条直线平行)

∴△BMR∽△BAE(R为MP与BO的交点)，△BPR∽△BCE

∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE

∴MR：AE=PR：CE

∵MN∥BC，PQ∥AB

∴四边形BMOP是平行[[四边形]]

∴MR=PR(平行四边形的对角线互相平分)

∴AE=CE

概要：利用共边三角形性质作共有边上的高，由相似比相等得证.

证法3

下面的是第三种方法：[[面积法]]

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：AE=CE

证明：

如图，

∵点D是BC的中点，点F是AB的中点

∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD

∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD

即S△AOC(绿) = S△AOB(红)

∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF

∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF

即S△AOC(绿) = S△BOC(蓝)

∴S△AOB(红) = S△BOC(蓝)

∵S△AOE：S△AOB(红) = OE：OB，S△COE：S△BOC(蓝) = OE：OB

∴S△AOE：S△AOB(红) = S△COE：S△BOC(蓝)

∵S△AOB(红) = S△BOC(蓝)

∴S△AOE = S△COE

∴AE=CE

命题得证。

证法4

下面的是第四种方法：[[中位线法]]

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：AE=CE

证明：

如图，延长OE到点G，使OG=OB。

∵OG=OB

∴点O是BG的中点

又∵点D是BC的中点

∴OD是△BGC的一条中位线

∴AD∥CG(三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半)

∵点O是BG的中点，点F是AB的中点

∴OF是△BGA的一条中位线

∴CF∥AG

∵AD∥CG，CF∥AG

∴四边形AOCG是平行[[四边形]]

∴AC、OG互相平分

∴AE=CE

命题得证。

证法5：因为ABCO是凹四边形，根据共边比例定理，[[命题得证]]
=='''定理推广'''==
四边形ABCD(不一定是凸四边形)，设AC，BD相交于E则有BE ：DE=S△ABC ∶S△ADC

证明：∵S△ABC=S△ABE+S△BEC

S△ADC=S△AED+S△CED.

又∵S△ABE∶S△AED=S△BEC∶S△CED=BE∶ED(∵高相等). ∴S△ABE+S△BEC：S△AED+S△CED=S△ABC∶：S△ADC=BE：ED

此定理是面积法最重要的定理之一。<ref>[https://wenda.so.com/q/1537562231218376  燕尾定理是什么？], 360问答 ,  2019.10.14</ref>
=='''参考文献'''==
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[[Category:800 語言、文學類]]