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{| class="wikitable" align="right" |- | style="background: #FF2400" align= center| '''<big>格拉姆矩阵</big>''' |- |<center><img src=https://p.ssl.qhimg.com/t019583f6d1d6f4e9f4.jpg width="300"></center> <small>[https://wenda.so.com/q/1467565621728387 来自 360问答 的图片]</small> |- | style="background: #FF2400" align= center| '''<big>格拉姆矩阵</big>''' |- | align= light| |} '''格拉姆矩阵'''是半正定的,反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。 这组向量一般不是惟一的:任何正交基的格拉姆矩阵是恒同矩阵。<ref>[https://blog.csdn.net/hellocsz/article/details/91486679 格拉姆矩阵 .CSDN] </ref> ==定义== 一个重要的应用是计算线性无关:一族向量线性无关当且仅当格拉姆行列式(格拉姆矩阵的行列式)不等于零。 格拉姆矩阵以丹麦数学家[[约尔根·佩尔森·格拉姆]](Jørgen Pedersen Gram)命名。 ==例子== 最常见地,向量是欧几里得空间中[[元素]],或L空间中函数,比如闭区间[a,b] 上的连续函数(是L([a,b])的子集)。 给定区间 ,由函数的标准内积给出: 给定一个实矩阵A,矩阵AA是A的列向量的格拉姆矩阵,而矩阵AA是A的行向量的格拉姆矩阵。 对一般任何域上的有限维向量空间上的双线性形式B,我们可对一组向量 。如果双线性形式B对称则该格拉姆矩阵对称。 ==主要应用== 如果向量是随机变量,所得格拉姆矩阵是协方差矩阵。 在量子化学中,一组基向量的格拉姆矩阵是重叠矩阵(Overlap matrix)。 在控制论(或更一般的系统理论中),可控性格拉姆矩阵(controllability Gramian)与可观测性格拉姆矩阵(observability Gramian)确定了线性系统的性质。 格拉姆矩阵出现在协方差结构模型中。 在有限元方法中,格拉姆矩阵出现在从有限维空间逼近函数时;格拉姆矩阵的元素是有限维子空间的基[[函数]]的内积。 格拉姆矩阵是半正定的,反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的:任何正交基的格拉姆矩阵是恒同矩阵。 这个命题无穷维类比是Mercer 定理(Mercer's theorem)。 ==基变换== 在一个由可逆矩阵 P 表示的基变换下,格拉姆矩阵是用 P 做一个矩阵合同变为 PTGP。 ==格拉姆行列式== 格拉姆行列式(Gram determinant 或 Gramian)是格拉姆矩阵的行列式: 在几何上,格拉姆行列式是这些向量形成的平行多面体的体积之平方。特别地,这些向量线性无关当且仅当格拉姆行列式不为零(当且仅当格拉姆矩阵非奇异)。 == 参考来源 == {{reflist}} [[Category: 310 數學總論]]
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