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'''有限集'''合是由有限个元素组成的集合，也称有穷集合。例如，由北京、天津、上海三个直辖市组成的集合，由所有小于10000的质数所组成的集合都是有限集合。<ref>[https://zhidao.baidu.com/question/699612323684439964.html?fr=bks0000&word=%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88 什么叫有限集？]百度知道</ref>  
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 |<center><img src="https://file1.renrendoc.com/fileroot2/2020-1/13/509ac037-667f-45eb-aeeb-0ff5202dc39b/509ac037-667f-45eb-aeeb-0ff5202dc39b2.gif   " width="180"></center><small>[]</small>
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只含一个元素的集合是一种特殊的有限集合，叫做单元素集合，至少含有一个元素的集合叫做非空集合，不含任何元素的集合叫做空集，空集只有一个，一般用希腊字母Φ(或{})来表示。例如，如果一个集合是以某班的某次数学测验不及格的学生为元素，而事实上全班学生在该次数学测验中成绩都及格，那么这个集合就是一个[[空集]]Φ。在集合论中，约定空集Φ为有限集合， 空集是一切集合的子集。
有限集合还有两种定义方式。
一个是说与自然数串的一个线段[[对等]]的集合，以及空集合，都叫做有限集合；不是有限集合的集合叫做无限集合。
另一个定义是：不可与其自身的真子集对等的非空集合，以及空集， 都叫做有限集合，不是有限集合的集合叫做无限集合。
== 相关性质定理 ==
定理1
(有限集合的基本定理)有限集合不能与它的任何真子集合或真母集合对等。
证明： （文中所有定理的详细证明请参考文后书籍）定理中两个论断(与子集合和母集合的不对等)的每一个论断，都可以容易地从另一个论断推出，因为，如果A～B而且，那么从A和B两集合之一的有限性，像上面已经指出的那样，即可推出另一集合也是有限的．因此，例如．让我们来证明：有限集合小能与它的真子集合对等，对于空集A=0，定理是成立的，因为空集合绝不会有真子集合，设A≠0，于是，按照有限集合的定义，集合A便对等于自然数串的一个(至少对等于一个)线段，让我们对于数n用归纳法证明：A不可能一一映象在它自己的真子集合B上，对于n=1，这是显然的，因为而且只包含一个元素，B=0是它唯一的一个真子集合，所以A不对等于B。
假设定理对于自然数n已被证明了，我们要证明定理对于n+1也是正确的，因此，设，而且f是A 在B上的一个一一[[映象]]，用与A的元素对应的那些自然数给A的元素编号，我们将得到

对于B=0，论断是正确的，如果B≠0．那么，[[无损]]于普遍性。可设，因为如若不然，我们取b∈B，并在B中用代换b而造成新集合B1；再构成新映象，使它和映象，除了具有性质的元素a之外，对于A的其他所有元素完全相同，并且假定对于元素a有于是就是A在其含有的真子集合B1上的一个一一映象。其次，无损于普遍性，可以认为因为如若不然。设，于是，再构成新映象，使它和映象，除了和这两个元素外，对于A的其他所有元素完全相同；并且假定因此，总起来，我们设并更设，因为B是A的真子集合，所以有元素a'∈A\B．因为，所以，因而，这就是说，B'是A'的一个真子集合。因为所以映照便建立起了集合A'与B'的对等性，但是所以我们便得到了与归纳法假定相矛盾的结果，而我们定理的沦断正就是那个假定，因此，这就是说，全部定理已被证明。
从定理1容易推出定理2。
定理2
每一个非空有限集合与自然数串的一个线段而且仅只一个线段对等。
定义4
对于非空有限集合A，由所唯一确定的自然数n叫做集合A的元素数，数0叫做空集合的元素数。
从对等的性质就推出：两个有限集合在而且仅只在它们具有相同的元素数时，才是对等的，所以，可以把元素数看成是有限集合的势的定义。
定理3
有限集合的任一子集合是有限集合，无限集合的任一母集合是无限集合。
定理4
有限集合A的元素数永远大于它的真子集合B的元素数。
定理5
全部自然数组成的集合N，以及含有与N对等的子集合的集合，全是无限集合。
证明： 集合N是无限的，因为对于任一自然数n的映象，把集合一一地映象在它的真子集合上，这就是说，任一与N对等的集合N‘’是无限的，而按照定理3，于是，包含与N对等的集合N'作为其子集合的任一集合，也是无限的。
例 实数集合或复数集合包含自然数集合N，因此，它们都是无限集合，线段[0，1]也是无限集合，因为它含有与N对等的形如那样的数组成的集合N。
定义5
对等于自然数集合的集合，叫做可排集合。
换句话说，可排集合就是这样的集合：可以利用自然数把它的元素如此地“编号”，使得全部自然数全被用到而且不同的元素水远有不同的号码，因此，可排集合A永远可被写成这样的形状：

偶数集合或奇数集合，以及有理数集合，全都是可排集合。
定义5
不是有限的或是可排的集合，叫做不[[可排]]集合。
定理6
每一个无限集合必含有一个可排集合。
定理7
每一个无限集合M必与其某一个真子集合对等。
==参考文献==
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[[Category:300 科學類]]