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{| class="wikitable" align="right" |- | style="background: #66CCFF" align= center| '''<big>微分</big> ''' |- |[[File:微分.jpg|缩略图|居中| [http://imgs.uplook.cn/2020/0512/20200512093441567.jpeg 原图链接]]] |- | style="background: #66CCFF" align= center| |- | align= light| 中文名: 微分 外文名: Differential 所属学科: 微分几何 概 述: 一种线性描述 一元型: 定义 推导 切线微分: 当自变量为固定值 运算法则: 基本法则 连锁律 乘法律 历 史: 发展历史 |} '''微分'''在数学中的定义:由函数B=f(A),得到A、B两个数集,在A中当dx靠近自己时,函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分,微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。<ref>[https://www.uplook.cn/xueli/zikao/4642.html ],尚训网 ,</ref> ==定义== 设M为光滑流形,U为M的开集,𝓕U为U上光滑函数代数,p∈U,f∈𝓕U。则f在p的微分为对偶空间T*pM的元,定义为 df(p)(v):=v(f),v∈TpM。 ==性质== {dxi(p)}为与{∂/∂xi(p)}对偶的基。 ==发展历史== 萌芽时期 早在希腊时期,人类已经开始讨论[[「无穷」]]、[[「极限」]]以及[[「无穷分割」]]等概念。这些都是微积分的中心思想;虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞,有时现代人甚至觉得这些讨论的论证和结论都很荒谬,但无可否认,这些讨论是人类发展微积分的第一步。 例如公元前五世纪,希腊的德谟克利特(Democritus)提出原子论:他认为宇宙万物是由极细的原子构成。在中国,《[[庄子.天下篇]]》中所言的「一尺之捶,日取其半,万世不竭」,亦指零是无穷小量。这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。 其他关于无穷、极限的论述,还包括芝诺(Zeno)几个著名的悖论:其中一个悖论说一个人永远都追不上一只乌龟,因为当那人追到乌龟的出发点时,乌龟已经向前爬行了一小段路,当他再追完这一小段,乌龟又已经再向前爬行了一小段路。芝诺说这样一追一赶的永远重覆下去,任何人都总追不上一只最慢的乌龟--当然,从现代的观点看,芝诺说的实在荒谬不过;他混淆了「无限」和「无限可分」的概念。人追乌龟经过的那段路纵然无限可分,其长度却是有限的;所以人仍然可以以有限的时间,走完这一段路。然而这些荒谬的论述,开启了人类对无穷、极限等概念的探讨,对后世发展微积分有深远的历史意味。 另外值得一提的是,希腊时代的阿基米德(Archimedes)已经懂得用无穷分割的方法正确地计算一些面积,这跟现代积分的观念已经很相似。由此可见,在历史上,积分观念的形成比微分还要早--这跟课程上往往先讨论微分再讨论积分刚好相反。 十七世纪的大发展牛顿和莱布尼茨的贡献 中世纪时期,欧洲科学发展停滞不前,人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有什么突破。中世纪以后,欧洲数学和科学急速发展,微积分的观念也于此时趋于成熟。在积分方面,一六一五年,开普勒(Kepler)把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件,从而求出其体积。而伽利略(Galileo)的学生卡瓦列里(Cavalieri)即认为一条线由无穷多个点构成;一个面由无穷多条线构成;一个立体由无穷多个面构成。这些想法都是积分法的前驱。 在微分方面,十七世纪人类也有很大的突破。费马(Fermat)在一封给罗贝瓦(Roberval)的信中,提及计算函数的极大值和极小值的步骤,而这实际上已相当于现代微分学中所用,设函数导数为零,然后求出函数极点的方法。另外,巴罗(Barrow)亦已经懂得透过「微分三角形」(相当于以dx、dy、ds为边的三角形)求出切线的方程,这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的。由此可见,人类在十七世纪已经掌握了微分的要领。 然而,直至十七世纪中叶,人类仍然认为微分和积分是两个独立的观念。就在这个时候,牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题,透过「微积分基本定理」或「牛顿-莱布尼茨公式」联系起来,说明求积分基本上是求微分之逆,求微分也是求积分之逆。这是微积分理论中的基石,是微积分发展一个重要的里程碑。 设函数y = f(x)在x的邻域内有定义,x及x + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不随Δx改变的常量,但A可以随x改变),而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小(注:o读作奥密克戎,希腊字母)那么称函数f(x)在点x是可微的,且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分,记作dy,即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分,且是Δx的线性函数,故说函数的微分是函数增量的线性主部(△x→0)。 通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。 当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X),如果存在一个与△X无关的常数A,使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量,则称A·△X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。一元微积分中,可微可导等价。记A·△X=dy,则dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。 微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的,在微小局部可以用直线去近似替代曲线,它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义:它表示一个微小的量,因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值,这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。 ==推导== 设函数y = f(x)在某区间内有定义,x0及x0+△x在这区间内,若函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx),其中A是不依赖于△x的常数, o(Δx)是△x的高阶无穷小,则称函数y = f(x)在点x0是可微的。 AΔx叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分,记作dy,即:dy=AΔx。微分dy是自变量改变量△x的线性函数,dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量,我们把dy称作△y的线性主部。得出: 当△x→0时,△y≈dy。 导数的记号为:(dy)/(dx)=f′(X),我们可以发现,它不仅表示导数的记号,而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分),还可表示为dy=f′(X)dX。 ==几何意义== 设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在[[横坐标]上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲 线在点M的切线对应Δx在[[纵坐标]]上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。 ==多元型== 当自变量为多个时,可得出多元微分的定义。一元微分又叫常微分。 ==高阶型== 当自变量是多元变量时,导数的概念已经不适用了(尽管可以定义对某个分量的偏导数),但仍然有微分的概念。 ==定义== 中的点x+h。如果存在线性映射A使得对任意这样的x+h, 那么称函数f在点x处可微。线性映射A叫做f在点x处的微分,记作。 如果f在点x处可微,那么它在该点处一定连续,而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别,[[多元函数的微分]]也叫做[[全微分]]或[[全导数]]。 当函数在某个区域的每一点x都有微分的函数: 这个函数一般称为微分函数。 ==性质== 如果f是线性映射,那么它在任意一点的微分都等于自身。 在Rn(或定义了一组标准基的内积空间)里,函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画: 设f是从Rn射到Rm的函数,f=(f1,f2,...fm),那么: 具体来说,对于一个改变量: ,微分值: 可微的必要条件:如果函数f在一点x_0处可微,那么雅克比矩阵的每一个元素 都存在,但反之不真。 可微的充分条件:如果函数f在一点x_0的雅克比矩阵的每一个元素\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)都在x_0连续,那么函数在这点处可微,但反之不真。 ==例子== 函数 是一个从R2射到R3的函数。它在某一点(x, y)的雅可比矩阵为: 微分为: ,也就是: 我们对函数y进行微分,得出导数 又被称为一阶导数。 这时,我们微分 被称为二阶导数。 同理,我们可以得到三次导数及更高次的导数, 2)被称为n阶导数。 ==切线微分== 当自变量为固定值 需要求出曲线上一点的斜率时,前人往往采用作图法,将该点的切线画出,以切线的斜率作为该点的斜率。然而,画出来的切线是有误差的,也就是说,以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率。微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。 以y=x2 为例,我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率,当△x与△y的值越接近于0,过这两点直线的斜率就越接近所求的斜率m,当△x与△y的值变得无限接近于0时,直线的斜率就是点的斜率。 当x = 3 +Δx 时,y = 9+ Δy,也就是说, (展开) (两边减去9) (两边除以△x) ∵ 为直线斜率) ∴ 我们得出, 在点(3,9)处的斜率为6。 当自变量为任意值 在很多情况下,我们需要求出曲线上许多点的斜率,如果每一个点都按上面的方法求斜率,将会消耗大量时间,计算也容易出现误差,这里我们仍以 为例,计算图象上任意一点的斜率m。 假设该点为(x,y),做对照的另一点为( ),我们按上面的方法再计算一遍: (展开) ,两边减去y) (两边除以△x) ∵ ∴ 我们得出,y=x2 在点(x,y)处的斜率为2x。 从二次函数到幂函数 通过以上的方法,我们可以得出x的二次函数在任意一点上的斜率,但是这远远不够。我们需要把这种方法扩充到所有的幂函数。假设有函数 ,假设函数上有一点(x,y)和另一点(x+Δx,y+Δy) ,我们可以这样计算斜率: (二项展开式) ) (两边除以△x) (加上极限) (其他项均带有△x,在△x→0的情况下都可以视为等于0) 我们得出, 。 从幂函数到单项式 我们可以把幂函数的斜率扩展到单项式函数 : (二项展开式) ,两边减去y) (两边除以△x) (加上极限) (其他项均带有△x,在△x→0的情况下都可以视为等于0) 我们得出, 。 这就是微分的基本公式,“基本法则”目录有详细的说明。 被记作dy/dx=m 。 单项式 当函数为单项式 (a和n为常数)的形式时,有基本公式: 注意:基本公式极为重要,在学习更为复杂的运算法则前请务必牢记。 多项式 当函数为几个 形式的单项式的和或差时,这个函数的导数只需在原函数的导数上进行加减即可。 以函数 。 可以得出 。 y=u+v 同理可以得出 最后得出公式: 有了这两个公式,我们可以对大部分常见的初等函数求导。 注意:f'(x)是函数f(x)的导数。 ==连锁律== (微分连锁律) ==乘法律== (微分乘法律) ==除法律== (微分除法律) 正弦函数的导数 假设正弦函数y=sin x(x的单位为弧度)上有一点(x,y)和另一点(x+δx,y+δy): d/dx(sin x) =limδx→0 δy/δx =limδx→0 [sin (x+δx)-sin x]/δx =limδx→0 2[cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/δx (sin A-sin B=2[cos 0.5(A+B)][sin 0.5(A-B)]) =limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/0.5δx (两边除以2) =limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×[sin 0.5(δx)]/0.5δx =limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×limδx→0 [sin 0.5(δx)]/0.5δx =cos 0.5(2x)×1 (limθ→0 (sin θ)/θ=1) =cos x 最后得出d/dx(sin x)=cos x。 余弦函数的导数 我们知道cos x=sin(π/2-x),所以d/dx(cos x)=d/dx[sin (π/2-x)]。 假设π/2-x=u,我们可以用连锁律对余弦函数y=cos x求导: d/dx(cos x) =d/dx[sin (π/2-x)] =d/du[sin (π/2-x)]×d/dx(π/2-x) (连锁律) =cos (π/2-x)×(-1) (d/dx(sin x)=cos x) =-cos (π/2-x) =-sin x (cos (π/2-x)=sin x) 最后得出d/dx(cos x)=-sin x。 正切函数的导数 由于正切函数tan x=(sin x)/(cos x),我们可以用除法律对其求导: d/dx(tan x) =d/dx[(sin x)/(cos x)] (tan x=(sin x)/(cos x)) =[(cos x)d/dx(sin x)-(sin x)d/dx(cos x)]/(cos^2 x) (除法律) =[cos^2 x-(sin x)(-sin x)]/cos^2 x =(cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x =1/cos^2 x =sec^2 x 最后得出d/dx(tan x)=sec^2 x。 三角函数的应用1 当我们遇到y=sin/cos/tan u(u是自变量为x的函数且常为ax+b的形式)这类函数的时候,可以使用连锁律求导: ①y=sin u d/dx(sin u) =(dy/du)(du/dx) (连锁律) =(cos u)(du/dx) 当u的形式为ax+b时,du/dx=a,所以: d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)] ②y=cos 当u的形式为ax+b时,du/dx=a,所以: d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)] ③y=tan u d/dx(tan u) =(dy/du)(du/dx) (连锁律) =(sec^2 u)(du/dx) 当u的形式为ax+b时,du/dx=a,所以: d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ac+b)] 三角函数的应用2 有时我们需要对y=sin^n x或y=cos^n x(n为常数)这类函数求导,使用连锁律也可以解决: 这里我们使用“连锁律的应用1”中得到的公式:d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx) ①y=sin^n x dy/dx =n[sin^(n-1) x]d/dx(sin x) =n[sin^(n-1) x](cos x) ②y=cos^n x dy/dx =n[cos^(n-1) x]d/dx(cos x) =-n[cos^(n-1) x](sin x) 得出公式: d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x) d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x) ==导数二== 自然指数函数的导数 在画图软件里,我们可以看出在函数y=e^x上任意一点(x,y)的斜率均等于y。也就是说,m=dy/dx=y。 因此,函数e^x的导数由以下公式获得 证明:y=e^x, y+dy=e^(x+dx), dy=e^(x+dx)-e^x =e^x(e^dx-1) =e^x(1+dx+dx^2/2!+……+dx^n/n!-1){e^a=1+a+a^n/n!(n∈N)} ≈dxe^x ∴d/dx(e^x)=e^x 自然指数函数的应用 我们可以使用连锁律对y=e^u(u是自变量为x的函数)求导: dy/dx =(dy/du)(du/dx) (连锁律) =[d/du(e^u)](du/dx) =(e^u)(du/dx) 最后得出: d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx) 如果u的形式为ax+b(a和b均为常数),那么du/dx=a,可以得出: d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b) 自然对数函数的导数 我们可以通过d/dx(e^x)=e^x对自然对数函数y=ln x求导: y=ln x x=e^y d/dx(x)=d/dx(e^y) d/dx(x)=d/dy(e^y)(dy/dx) (连锁律) d/dx(x)=(e^y)(dy/dx) (e^y)(dy/dx)=1 x(dy/dx)=1 (x=e^y) dy/dx=1/x 最后得出: d/dx(ln x)=1/x 自然对数函数的应用 我们可以使用连锁律对y=ln u(u是自变量为x的函数)求导: dy/dx =(dy/du)(du/dx) (连锁律) =[d/du(ln u)](du/dx) =(1/u)(du/dx) 可以得出: d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx) 如果u的形式为ax+b(a和b均为常数),那么du/dx=a,可以得出: d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b) ==特殊导数== 三角函数 d/dx(sin x)=cos x d/dx(cos x)=-sin x d/dx(tan x)=sec^2 x d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)] d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)] d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ax+b)] d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x) d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x) 自然指数函数 d/dx(e^x)=e^x d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx) d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b) 自然对数函数 d/dx(ln x)=1/x d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx) d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b) ==微分应用== 法线 我们知道,曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直,微分可以求出切线的斜率,自然也可以求出法线的斜率。 假设函数y=f(x)的图象为曲线,且曲线上有一点(x1,y1),那么根据切线斜率的求法,就可以得出该点切线的斜率m: m=dy/dx在(x1,y1)的值 所以该切线的方程式为: y-y1=m(x-x1) 由于法线与切线互相垂直,法线的斜率为-1/m且它的方程式为: y-y1=(-1/m)(x-x1) 增函数与减函数 微分是一个鉴别函数(在指定定义域内)为[[增函数]]或[[减函数]]的有效方法。 鉴别方法:dy/dx与0进行比较,dy/dx大于0时,说明dx增加为正值时,dy增加为正值,所以函数为增函数;dy/dx小于0时,说明dx增加为正值时,dy增加为负值,所以函数为减函数。 例1:分析函数y=x^2-1 的增减性 ∵y=x^2-1 ∴dy/dx=2x 当x>0时,dy/dx>0,所以函数y=x^2-1在x>0时是增函数; 当x<0时,dy/dx<0,所以函数y=x^2-1在x<0时是减函数。 变化的速率 微分在日常生活中的应用,就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。 比如说,有一个水箱正在加水,水箱里水的体积V(升)和时间t(秒)的关系为V=5-2/(t+1), 在t=3时,我们想知道此时水加入的速率,于是我们算出dV/dt=2/(t+1)^2,代入t=3后得出dV/dt=1/8。 所以我们可以得出在加水开始3秒时,水箱里的水的体积以每秒1/8升的速率增加。 == 参考来源 == {{reflist}} [[Category:310 數學總論 ]]
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