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{| class="wikitable" style="float:right; margin: -10px 0px 10px 20px; text-align:left"
|<center>'''機率密度函數'''<br><img src="http://140.121.160.124/fd/ex123/ch3.ht3.jpg" width="250"></center><small>[http://140.121.160.124/fd/ex123/ch3.htm 圖片來自http://140.121.160.124/fd/ex123/ch3.htm]</small> 
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'''常態分布'''（normal distribution）又名'''高斯分布'''（'''Gaussian distribution'''），是一個非常常見的[[概率分布|連續機率分布]]<ref>[https://wiki.mbalib.com/zh-tw/%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%88%86%E5%B8%83 概率分布]，MBA智庫百科</ref> 。常態分布在[[统计学]]上十分重要，經常用在[[自然科学|自然]]和[[社会科学]]來代表一個不明的隨機變量。

若[[隨機變量]]<math>X</math>服從一個位置參數為mu、尺度參數為sigma的常態分布，記為：
:X \sim N(\mu,\sigma^2)

則其[[機率密度函數]]為
f(x) = \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} } 

常態分布的[[數學期望]]值或[[期望值]]<math>\mu</math>等於位置參數，決定了分布的位置；其[[方差]]<math>\sigma^2</math>的開平方或[[標準差]]<math>\sigma</math>等於尺度參數，決定了分布的幅度。

常態分布的機率密度函數曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為'''鐘形曲線'''（类似于寺庙里的大钟，因此得名）。我們通常所說的'''標準常態分布'''是位置參數mu = 0，尺度參數sigma^2 = 1的常態分布。

== 概要 ==
常態分布是[[自然科學]]與[[行為科學]]中的定量現象的一個方便模型。各種各樣的[[心理學]]測試分數和[[物理]]現象比如[[光子]]計數都被發現近似地服從常態分布。儘管這些現象的根本原因經常是未知的，理論上可以證明如果把許多小作用加起來看做一個變量，那麼這個變量服從常態分布（在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一種簡單的證明）。常態分布出現在許多區域[[統計]]：例如，[[採樣分佈|採樣分布]][[均值]]是近似地常態的，即使被採樣的樣本的原始群體分布並不服從常態分布。另外，常態分布[[信息熵]]在所有的已知均值及方差的分布中最大，這使得它作為一種[[均值]]以及[[方差]]已知的分布的自然選擇。常態分布是在統計以及許多統計測試中最廣泛應用的一類分布。在[[概率論]]，常態分布是幾種連續以及離散分布的[[極限分佈|極限分布]]。

=== 歷史 ===
常態分布最早是[[亞伯拉罕·棣莫弗|棣莫弗]]在1718年著作的書籍的（Doctrine of Change），及1734年發表的一篇關於[[二項分佈|二項分布]]文章中提出的，當二項隨機變數的位置參數n很大及形狀參數p為1/2時，則所推導出二項分布的近似分布函數就是常態分布。[[拉普拉斯]]在1812年发表的《分析概率论》（Theorie Analytique des Probabilites）中對棣莫佛的結論作了擴展到二項分布的位置參數為n及形狀參數為1>p>0時。現在这一结论通常被稱為[[中央極限定理#棣莫佛－拉普拉斯定理|棣莫佛－拉普拉斯定理]]。

拉普拉斯在[[誤差分析]]試驗中使用了常態分布。[[勒讓德]]於1805年引入[[最小二乘法]]這一重要方法'''；而'''[[高斯]]則宣稱他早在1794年就使用了該方法，並通過假設誤差服從常態分布給出了嚴格的證明。

「鐘形曲線」這個名字可以追溯到[[Jouffret]]他在1872年首次提出這個術語「鐘形曲面」，用來指代[[多元常態分佈|二元常態分布]]（[[multivariate normal distribution|bivariate normal]]）。正态分布這個名字還被[[Charles S. Peirce]]、[[Francis Galton]]、[[Wilhelm Lexis]]在1875分别獨立地使用。這個術語是不幸的，因為它反映和鼓勵了一種謬誤，即很多概率分布都是常態的。（請參考下面的「實例」）

這個分布被稱為「常態」或者「高斯」正好是[[Stigler名字由來法則]]的一個例子，這個法則說「沒有科學發現是以它最初的發現者命名的」。

== 正态分布的定義 ==
有幾種不同的方法用來說明一個隨機變量。最直觀的方法是[[概率密度函數]]，這種方法能夠表示隨機變量每個取值有多大的可能性。[[累積分佈函數|累積分布函數]]是一種概率上更加清楚的方法，請看下邊的例子。還有一些其他的等價方法，例如cumulant、[[特徵函數]]、[[動差生成函數]]以及cumulant-[[生成函數]]。這些方法中有一些對於理論工作非常有用，但是不夠直觀。請參考關於[[概率分佈|概率分布]]的討論。

=== 概率密度函數 ===
'''常態分布'''的[[概率密度函數]]均值為mu [[方差]]為sigma^2 (或[[標準差]]sigma)是[[高斯函數]]的一個實例：
:f(x;\mu,\sigma)

frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} \right)。

如果一個[[隨機變量]]X服從這個分布，我們寫作
X ~ N(\mu, \sigma^2).
如果mu = 0並且sigma = 1，這個分布被稱為'''標準正态分布'''，這個分布能夠簡化為

:f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \exp\left(-\frac{x^2}{2} \right)。

正态分布中一些值得注意的量：
* 密度函數關於平均值對稱
* 平均值與它的[[眾數 (數學)|眾數]]（statistical mode）以及[[中位數]]（median）同一數值。
* 函數曲線下68.268949%的面積在平均數左右的一個[[標準差]]範圍內。
* 95.449974%的面積在平均數左右兩個標準差2 \sigma的範圍內。
* 99.730020%的面積在平均數左右三個標準差3 \sigma的範圍內。
* 99.993666%的面積在平均數左右四個標準差4 \sigma的範圍內。
* 函數曲線的[[拐點]]（inflection point）為離平均數一個標準差距離的位置。

== 性質 ==
常態分布的一些性質：

# 如果X \sim N(\mu, \sigma^2) 且a與b是[[實數]]，那麼a X + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2).
# 如果X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)與Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)是[[統計獨立]]的常態[[隨機變量]]，那麼：
#* 它們的和也滿足常態分布U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y) (正态分布随机变量总和|sum of normally distributed random variables|proof).
#* 它們的差也滿足常態分布V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y).
#* U與V兩者是相互獨立的。（要求X与Y的方差相等）
# 如果X \sim N(0, \sigma^2_X)和Y \sim N(0, \sigma^2_Y)是獨立常態隨機變量，那麼：
#* 它們的積X Y服從機率密度函數為p的分布
#*:p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_X\,\sigma_Y} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_X\,\sigma_Y}\right),其中K_0是修正貝塞爾函數（modified Bessel function）
#* 它們的比符合[[柯西分佈|柯西分布]]，滿足X/Y \sim \mathrm{Cauchy}(0, \sigma_X/\sigma_Y).
# 如果X_1, \cdots, X_n為獨立標準常態隨機變量，那麼X_1^2 + \cdots + X_n^2服從自由度為''n''的[[卡方分佈|卡方分布]]。

=== 中心極限定理 ===
常態分布有一個非常重要的性質：在特定條件下，大量'''[[統計獨立]]的隨機變量的平均值的分布趨於正态分布，這就是[[中心極限定理]]'''。中心極限定理的重要意義在於，根據這一定理的結論，其他概率分布可以用正态分布作為近似。

* '''參數為n和p的[[二項分佈|二項分布]]，在n相當大而且p接近0.5時近似於正态分布'''。

近似正态分布平均數為mu = n p且方差為sigma^2 = n p (1 - p).

* '''一[[泊松分佈|泊松分布]]帶有參數lambda當取樣樣本數很大時將近似正态分布lambda'''.
近似正态分布平均數為mu = \lambda且方差為sigma^2 = \lambda.

這些近似值是否完全充分正確取決於使用者的使用需求。

=== 無限可分性 ===
正态分布是[[無限可分]]的概率分布。

=== 穩定性 ===
正态分布是嚴格[[穩定]]的概率分布。

=== 標準偏差 ===
在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於[[常態分佈|常態分布]]的機率分布。若其假設正確，則約'''68.3%'''數值分布在距離平均值有1個標準差之內的範圍，約'''95.4%'''數值分布在距離平均值有2個標準差之內的範圍，以及約'''99.7%'''數值分布在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「'''[[68–95–99.7原則|68-95-99.7法則]]'''」或「'''經驗法則'''」。
== 參考文獻 == 
{{reflist}}
[[Category:310 數學總論]]