檢視原根的原始碼

'''原根'''是一个数学符号。设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。<ref>[https://zhuanlan.zhihu.com/p/425683032 费马数的一个原根(初等数论作业）]知乎</ref>
{| class="wikitable" style="float:right; margin: -10px 0px 10px 20px; text-align:left"
|<center><img src=" https://i01piccdn.sogoucdn.com/6785aad11c74483f   " width="180"></center><small>[]</small> 
|}
== 例子 ==
设m= 7，则φ（7）等于6。

设a= 2，由于2^3=8≡1(mod 7)，2^6=64≡1(mod7)，2^3≡2^6(mod7)，所以 2 不是模 7 的一个原根。设a= 3，由于3^1≡3(mod 7)，3^2≡2(mod 7)，3^3≡6(mod 7)，3^4≡4(mod 7)，3^5≡5(mod 7)，3^6≡1(mod 7)，所以 3 是模 7 的一个原根。

补充一点，根据原根的性质1，只需要验证3^1，3^2，3^3，3^6即可，这样可以[[简化运算]]。
== 定义 ==
原根是一种数学符号，设m是[[正整数]]，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）

假设一个数g是P的原根，那么g^i mod P的结果两两不同，且有 1<g<P，0<i<P，归根到底就是g^(P-1) = 1 (mod P)当且仅当指数为P-1的时候成立.(这里P是素数)。

简单来说，g^i mod p ≠ g^j mod p （p为素数），其中i≠j且i, j介于1至(p-1)之间，则g为p的原根。

求原根目前的做法只能是从2开始枚举，然后暴力判断g^(P-1) = 1 (mod P)是否当且仅当指数为P-1的时候成立。而由于原根一般都不大，所以可以暴力得到。

== 性质 ==
原根具有以下性质：

（1）可以证明，如果正整数(a,m) = 1和正整数 d 满足a^d≡1(mod m)，则 d 整除 φ(m)。因此Ordm(a)整除φ(m)。在例子中，当a= 3时，我们仅需要验证 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的余数即可。

（2）记δ =Ordm(a)，则a^1，……a^(δ-1)模 m 两两不同余。因此当a是模m的原根时，a^0,a^1，……a^(δ-1)构成模 m 的简化剩余系。

（3）模m有原根的充要条件是m= 1,2,4,p,2p,p^n，其中p是奇质数，n是任意正整数。

（4）对正整数(a,m) = 1，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整数模n乘法群（即加法群Z/mZ的可逆元，也就是所有与 m互素的正整数构成的等价类构成的乘法群）Zn的一个生成元。由于Zn有 φ(m)个元素，而它的生成元的个数就是它的可逆元个数，即 φ(φ(m))个，因此当模m有原根时，它有φ(φ(m))个原根。

== 原根存在条件 ==
原根存在的条件有以下几个：

定理一：设p是奇素数，则模p的原根存在；

定理二：设g是模p的原根，则g或者g+p是模的原根；

定理三：设p是奇素数，则对任意，模的原根存在；

定理四：设1，则g是模的一个原根，则g与g+中的奇数是模2的一个原根。
==参考文献==
{{Reflist}}
[[Category:310 數學總論]]