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在[[数论]]中，'''三胞胎素数'''（也称为'''三生素数'''）是一类由三个连续[[素数]]组成的数组。三胞胎素数的定义类似于[[孪生素数]]，它的名字也正是由此而来。  

== 定义 ==  
正如孪生素数是指差等于2的两个素数，三胞胎素数是指三个连续素数，使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上，除了最小的两组三胞胎素数：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外，三胞胎素数分为两类：  A类，中间一个素数与前面一个素数相差2，与后面一个素数相差4，即素数p，p+2，p+6，例如，11,13,17；B类，中间一个素数与前面一个素数相差4，与后面一个素数相差2，即素数p，p+4，p+6，例如13，17,19.

== 公式 ==  

=== A类三胞胎素数 ===  

为了具体地求一定范围内的A类三胞胎素数，可以利用一下的定理：“若自然数A-2, A, A+4都不能被不大于（A+4）½的任何素数整除，则A-2, A与A+4都是素数”。 这个定理的证明用到一个简单的事实：如果一个自然数A不能被不大于（A）½的任何素数整除，则A是素数。  

考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前''k'' 个素数p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub>,...,p<sub>k</sub>。解方程：  

A=p<sub>1</sub>m<sub>1</sub>+g<sub>1</sub>=p<sub>2</sub>m<sub>2</sub>+g<sub>2</sub>=...=p<sub>k</sub>m<sub>k</sub>+g<sub>k</sub>(1)  

其中<math>g<sub>i</sub>≠0，g<sub>i</sub> ≠2，g<sub>i</sub>≠ p<sub>i</sub>-4（保证A-2, A, A+4都不能被任一个素数整除），1<g<sub>i</sub>< p<sub>i</sub>- 1。   

如果解出A<p<sup>2</sup><sub>k+1</sub>-4，则A-2,A与A+4是一组三胞胎素数。   

我们可以把（1）式内容等价转换成为[[同余]]方程组表示：   

:A ≡ g<sub>1</sub> (modp<sub>1</sub>),  A ≡g<sub>2</sub>modp<sub>2</sub>), ...,\A ≡ g<sub>k</sub>modp<sub>k</sub>(2)  

由于（2）式的模p<sub>1</sub>、p<sub>2</sub>、……、p<sub>k</sub> 是素数，两两互素，根据[[孙子定理]]（中国剩余定理）知，对于给定的g<sub>1</sub>, g<sub>2</sub>, ..., g<sub>k</sub>，（2）式在p<sub>1</sub> p<sub>2</sub>...p<sub>k</sub>范围内有唯一解。  

=== A类三胞胎素数的例子 ===  

例如k=2时，A=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+1，解得A=7, 13, 19。这三个素数都满足A<p<sup>2</sup><sub>k+1</sub>-4的条件：7, 13, 19<5<sup>2-4，因此，这三个素数所对应的素数组：  
:7-2，7与7+4；  
:13-2，13与13+4；  
:19-2，19与19+4  
都是三胞胎素数组。  
这样，就求得了区间(5, 5<sup>2</sup>）中的全部A类三胞胎素数。   

又如当k=3时，设有方程组A=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+1=5m<sub>3</sub>+3，解得A=13 与A=43。其中出现一个新的素数43，而43<7<sup>2</sup>-4。因此，43-2，43与43+4也是一组三胞胎素数。  

又比如求解方程组A=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+1=5m<sub>3</sub>+4，解得A=19，也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。  

由于余数不能是0、2或对应的素数减去4，可能的余数组合只有以上的两种，所以上面的计算已经求得了区间(7,7<sup>2</sup>)的全部A类三胞胎素数。  

{| class="wikitable"  

|-  

! k=4时 !! 7m<sub>4</sub>+1!! 7m<sub>4</sub>+4!! 7m<sub>4</sub>+5!! 7m<sub>4</sub>+6  


|-  

| A=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+1=5m<sub>3</sub>+3|| 43 || 193 || 103 || 13  


|-  

|A=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+1=5m<sub>3</sub>+4  || 169 || 109 || 19 || 139  


|}  

已经得到区间(11,11<sup>2</sup>)的全部A类三胞胎素数

=== B类三胞胎素数 ===  

对于B类的三胞胎素数，也可以用类似的结论：“若自然数B-4, B, B+2都不能被不大于{B+2}½任何素数整除，则B-4, B与B+2都是素数”。这个结论的证明与上面的相同。  

于是同样地，考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前''k'' 个素数p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub>,...,p<sub>k</sub>。解方程：  

:B=p<sub>1</sub>m<sub>1</sub>+j<sub>1</sub>=p<sub>2</sub>m<sub>2</sub>+j<sub>2</sub>=...=p<sub>k</sub>m<sub>k</sub>+j<sub>k</sub>(3)    

其中j<sub>i</sub>≠0 、j<sub>i</sub>≠4、j<sub>i</sub>≠p<sub>i</sub>- 2 。   

而如果B<p<sup>2</sup><sub>k+1</sub>-2，则B-4, B与B+2是一组三胞胎素数。   

我们可以把（3）式内容等价转换成为同余方程组表示：   

:B ≡j<sub>1</sub>（modp<sub>1</sub>）, B ≡j<sub>2（</sub>modp<sub>2</sub>）, ..., B ≡j<sub>k（</sub>modp<sub>k</sub>）(4) 

同样地，由于（4）式中的模p<sub>1</sub>、p<sub>2</sub>、……、p<sub>k</sub>是素数，两两互素，根据[[孙子定理]]（中国剩余定理）知，对于给定的j<sub>1</sub>, j<sub>2</sub>, ..., j<sub>k</sub>，（4）式在p<sub>1</sub>p<sub>2</sub>...p<sub>k</sub>范围内有唯一解。

=== B类三胞胎素数的例子 ===  

例如k=2时，B=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+2，解得B=11，17。这两个素数都满足B<p<sup>2</sup><sub>k+1</sub>-2的条件：11, 17<5<sup>2</sup>-2，因此我们得到两组B类三胞胎素数：  
:11-4，11与11+2；  

:17-4，17与17+2；  

这样，就求得了区间(5, 5<sup>2</sup>)中的全部B类三胞胎素数。    

又比如当k=3时，解方程组B=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+1=5m<sub>3</sub>+2，解得B=11，41。这两个素数都满足B<p<sup>2</sup><sub>k+1</sub>-2的条件：11, 41<7<sup>2</sup>-2，因此我们得到一组新的B类三胞胎素数：  

:41-4，41与41+2。  

而解方程组B=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+2=5m<sub>3</sub>+2，得B=17，也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。  

由于余数不能是0、4或对应的素数减去2，可能的余数组合只有以上的两种，所以上面的计算  

已经求得了区间(7, 7<sup>2</sup>)的全部B类三胞胎素数。   

{| class="wikitable"  

|-  

! k=4时 !! 7m<sub>4</sub>+1 !! 7m<sub>4</sub>+2 !! 7m<sub>4</sub>+3  !! 7m<sub>4</sub>+6   
|-  

| B=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+2=5m<sub>3</sub>+1 || 71 || 191 || 101 || 41  


|-  

| B=2m<sub>1</sub>+1=3m<sub>2</sub>+2=5m<sub>3</sub>+2 || 197 || 107 || 17 || 167  



|}已经求得了区间(11, 11<sup>2</sup>)的全部B类三胞胎素数。  

仿此下去可以求得给定区域内的全部A类和B类全部三胞胎素数，并且一个不漏地求得。

== 三胞胎素数猜想 ==  

有关孪生素数的一个著名猜想是：是否有无穷多个孪生素数？这个问题迄今尚未解决。同样的，有关于三胞胎素数的类似猜想：是否有无穷个三胞胎素数？由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数，解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。