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導數

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名稱 ：導數

導數（Derivative），也叫導函數值。又名微商，是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f（x）的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。

導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。

不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。

對於可導的函數f(x)，x↦f'(x)也是一個函數，稱作f(x)的導函數（簡稱導數）。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運算法則也來源於極限的四則運算法則。反之，已知導函數也可以反過來求原來的函數，即不定積分。

微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。

歷史沿革

起源

大約在1629年，法國數學家費馬研究了作曲線的切線和求函數極值的方法；1637年左右，他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時，他構造了差分f（A+E）-f（A），發現的因子E就是我們所說的導數f'（A）。

發展

17世紀生產力的發展推動了自然科學和技術的發展，在前人創造性研究的基礎上，大數學家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為「流數術」，他稱變量為流量，稱變量的變化率為流數，相當於我們所說的導數。牛頓的有關「流數術」的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數術和無窮級數》，流數理論的實質概括為：他的重點在於一個變量的函數而不在於多變量的方程；在於自變量的變化與函數的變化的比的構成；最在於決定這個比當變化趨於零時的極限。

成熟

1750年，達朗貝爾在為法國科學院出版的《百科全書》第四版寫的「微分」條目中提出了關於導數的一種觀點，可以用現代符號簡單表示：

。

1823年，柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導數：如果函數y=f（x）在變量x的兩個給定的界限之間保持連續，並且我們為這樣的變量指定一個包含在這兩個不同界限之間的值，那麼是使變量得到一個無窮小增量。19世紀60年代以後，魏爾斯特拉斯創造了ε-δ語言，對微積分中出現的各種類型的極限重新表達。

微積分學理論基礎，大體可以分為兩個部分。一種是實無限理論，即無限是一個具體的東西，一種真實的存在；另一種是潛無限理論，指一種意識形態上的過程，比如無限接近。

就數學歷史來看，兩種理論都有一定的道理，實無限就使用了150年。

光是電磁波還是粒子？作為一個物理學長期爭論的問題，後來由波粒二象性來統一。微積分無論是用現代極限論還是150年前的理論，都不是最好的方法。

定義

設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量Δx，（x0+Δx）也在該鄰域內時，相應地函數取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy與Δx之比當Δx→0時極限存在，則稱函數y=f（x）在點x0處可導，並稱這個極限為函數y=f（x）在點x0處的導數，記作① ， 即

需要指出的是：

兩者在數學上是等價的。

導函數

如果函數y=f（x）在開區間內每一點都可導，就稱函數f（x）在區間內可導。這時函數y=f（x）對於區間內的每一個確定的x值，都對應着一個確定的導數值，這就構成一個新的函數，稱這個函數為原來函數y=f（x）的導函數，記作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，簡稱導數。

導數是微積分的一個重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了貢獻。

幾何意義

函數y=f（x）在x0點的導數f'（x0）的幾何意義：表示函數曲線在點P0（x0,f（x0））處的切線的斜率（導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率）。

公式

簡單函數

這裡將列舉14個基本初等函數的導數。

參考資料：

複雜函數

1、導數的四則運算：

……………….①

………………②

………………③

2、原函數與反函數導數關係（由三角函數導數推反三角函數的）：

y=f（x）的反函數是x=g（y），則有y'=1/x'。

3、複合函數的導數：

複合函數對自變量的導數，等於已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數（稱為鏈式法則）。

4、變限積分的求導法則：

（a（x）,b（x）為子函數）

導數的計算

計算已知函數的導函數可以按照導數的定義運用變化比值的極限來計算。在實際計算中，大部分常見的解析函數都可以看作是一些簡單的函數的和、差、積、商或相互複合的結果。只要知道了這些簡單函數的導函數，那麼根據導數的求導法則，就可以推算出較為複雜的函數的導函數。

導數的求導法則

由基本函數的和、差、積、商或相互複合構成的函數的導函數則可以通過函數的求導法則來推導。基本的求導法則如下：

1、求導的線性：對函數的線性組合求導，等於先對其中每個部分求導後再取線性組合（即①式）。

2、兩個函數的乘積的導函數：一導乘二+一乘二導（即②式）。

3、兩個函數的商的導函數也是一個分式：（子導乘母-子乘母導）除以母平方（即③式）。

4、如果有複合函數，則用鏈式法則求導。

高階求導

高階導數的求法

1、直接法：由高階導數的定義逐步求高階導數。

一般用來尋找解題方法。

2、高階導數的運算法則：

（牛頓-萊布尼茨公式）

3、間接法：利用已知的高階導數公式，通過四則運算，變量代換等方法。

注意：代換後函數要便於求，儘量靠攏已知公式求出階導數。

口訣

為了便於記憶，有人整理出了以下口訣：

常為零，冪降次

對倒數（e為底時直接倒數，a為底時乘以1/lna）

指不變（特別的，自然對數的指數函數完全不變，一般的指數函數須乘以lna）

正變余，余變正

切割方（切函數是相應割函數（切函數的倒數）的平方）

割乘切，反分式

性質

單調性

（1）若導數大於零，則單調遞增；若導數小於零，則單調遞減；導數等於零為函數駐點，不一定為極值點。需代入駐點左右兩邊的數值求導數正負判斷單調性。

（2）若已知函數為遞增函數，則導數大於等於零；若已知函數為遞減函數，則導數小於等於零。

根據微積分基本定理，對於可導的函數，有：

如果函數的導函數在某一區間內恆大於零（或恆小於零），那麼函數在這一區間內單調遞增（或單調遞減），這種區間也稱為函數的單調區間。導函數等於零的點稱為函數的駐點，在這類點上函數可能會取得極大值或極小值（即極值可疑點）。進一步判斷則需要知道導函數在附近的符號。對於滿足的一點，如果存在使得在之前區間上都大於等於零，而在之後區間上都小於等於零，那麼是一個極大值點，反之則為極小值點。

x變化時函數（藍色曲線）的切線變化。函數的導數值就是切線的斜率，綠色代表其值為正，紅色代表其值為負，黑色代表值為零。

凹凸性

可導函數的凹凸性與其導數的單調性有關。如果函數的導函數在某個區間上單調遞增，那麼這個區間上函數是向下凹的，反之則是向上凸的。如果二階導函數存在，也可以用它的正負性判斷，如果在某個區間上恆大於零，則這個區間上函數是向下凹的，反之這個區間上函數是向上凸的。曲線的凹凸分界點稱為曲線的拐點。

導數種別

雙曲函數

另外在對雙曲函數shx,chx,thx等以及反雙曲函數arshx,archx,arthx等和其他較複雜的複合函數求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與

均能較快捷地求得結果。

對於

有更直接的求導方法。

下面對

進行求導

由指數函數定義可知，y>0

等式兩邊取自然對數

等式兩邊對x求導，注意y是y對x的複合函數

冪函數

冪函數同理可證。

導數說白了它其實就是曲線一點切線的斜率，函數值的變化率。

上面說的分母趨於零，這是當然的了，但不要忘了分子也是可能趨於零的，所以兩者的比就有可能是某一個數，如果分子趨於某一個數，而不是零的話，那麼比值會很大，可以認為是無窮大，也就是我們所說的導數不存在。

設y=x/x，若這裡讓x趨於零的話，分母是趨於零了，但它們的比值是1，所以極限為1。

連續不可導的曲線

例如，魏爾斯特拉斯函數（Weierstrass function）就是一類處處連續而處處不可導的實值函數。魏爾斯特拉斯函數是一種無法用筆畫出任何一部分的函數，因為每一點的導數都不存在，畫的人無法知道每一點該朝哪個方向畫。魏爾斯特拉斯函數的每一點的斜率也是不存在的。魏爾斯特拉斯函數得名於十九世紀的德國數學家卡爾·魏爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815–1897）。歷史上，魏爾斯特拉斯函數是一個著名的數學反例。魏爾斯特拉斯之前，數學家們對函數的連續性認識並不深刻。許多數學家認為除了少數一些特殊的點以外，連續的函數曲線在每一點上總會有斜率。魏爾斯特拉斯函數的出現說明了所謂的「病態」函數的存在性，改變了當時數學家對連續函數的看法。

參考來源

16.導數的定義