短五引理

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短五引理在同调代数中是五引理的一个特例，它断言：在任何阿贝尔范畴或群范畴中，若以下交换图的横行正合，而g，h皆为同构，则f也是同构。

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五引理

在同调代数中，五引理是关于交换图的一个重要引理。五引理可以被视为两个相对偶的四引理之组合。此结果不只对阿贝尔范畴成立，也对群范畴成立。

同调代数

同调代数是数学的一个分支，它研究同调与上同调技术的一般框架。同调代数是一门相对年轻的学科，其源头可追溯到代数拓扑（单纯形同调）与抽象代数（合冲模）在十九世纪末的发展，这两门理论各自由庞加莱与希尔伯特开创。

同调代数的发展与范畴论的出现密不可分。大致说来，同调代数是（上）同调函子及其代数结构的研究。“同调”与“上同调”是一对对偶的概念，它们满足的范畴论性质相反（即：箭头反向）。数学很大一部分的内在构造可藉链复形理解，其性质则以同调与上同调的面貌展现，同调代数能萃取这些链复形蕴含的资讯，并表之为拓扑空间、层、群、环、李代数与C*-代数等等“具体”对象的（上）同调不变量。谱序列是计算这些量的有力工具。

同调代数肇始即在代数拓扑中扮演要角。其影响日渐扩大，目前已遍及交换代数、代数几何、代数数论、表示理论、算子代数、偏微分方程与非交换几何。K-理论是一门独立的学科，它也采用同调代数的办法。

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