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求真百科

梯度

中文名: 梯度

外文名: gradient

學 科: 微積分學

適用範圍: 數理科學

相關概念: 方向導數

性 質: 向量

梯度的本意是一個向量(矢量),表示某一函數在該點處的方向導數沿着該方向取得最大值,即函數在該點處沿着該方向(此梯度的方向)變化最快,變化率最大(為該梯度的模)。[1]

目錄

定義

設二元函數 ,即有: gradf(x,y)= 其中 。 設

是方向l上的单位向量,则

由於當方向l與梯度方向一致時,有 所以當l與梯度方向一致時,方向導數

有最大值,且最大值为梯度的模,即

因此說,函數在一點沿梯度方向的變化率最大,最大值為該梯度的模。  

推廣

梯度的概念可以推廣到三元函數的情形。 設三元函數 ,稱向量 為函數 ,即 其中。 同樣,該梯度方向與取得最大方向導數的方向一致,而它的模為方向導數的最大值。  

應用

設體系中某處的物理參數(如溫度、速度、濃度等)為w,在與其垂直距離的dy處該參數為w+dw,則稱為該物理參數的梯度,也即該物理參數的變化率。如果參數為速度、濃度、溫度或空間,則分別稱為速度梯度、濃度梯度、溫度梯度或空間梯度。其中溫度梯度在直角坐標系下的表達式如圖1。   在向量微積分中,標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向,梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的說,從歐幾里得空間Rn到R的函數的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上,梯度是雅可比矩陣的特殊情況。 在單變量的實值函數的情況,梯度只是導數,或者,對於一個線性函數,也就是線的斜率。 梯度一詞有時用於斜度,也就是一個曲面沿着給定方向的傾斜程度。可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數值有時也被稱為梯度

參考來源