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方程

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中文名: 方程 外文名: equation 定 義: 含有未知數的等式 所屬學科: 數學 應用領域: 數學、科學等 拼 音: fāng chéng 發明者: 法國數學家韋達 形 式: 一元一次方程、一元二次方程等

方程（equation）是指含有未知數的等式。是表示兩個數學式（如兩個數、函數、量、運算）之間相等關係的一種等式，使等式成立的未知數的值稱為「解」或「根」。求方程的解的過程稱為「解方程」。

通過方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多種形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，還可組成方程組求解多個未知數。

在數學中，一個方程是一個包含一個或多個變量的等式的語句。 求解等式包括確定變量的哪些值使得等式成立。 變量也稱為未知數，並且滿足相等性的未知數的值稱為等式的解。

早在3600年前，古埃及人寫在草紙上的數學問題中，就涉及了方程中含有未知數的等式。

公元825年左右，中亞細亞的數學家阿爾·花拉子米曾寫過一本名叫《對消與還原》的書，重點討論方程的解法。

名稱

方程中文一詞出自古代數學專著《九章算術》，其第八卷即名「方程」。「方」意為並列，「程」意為用算籌表示豎式。

卷第八（一）為：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？（現今有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。問1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？）

答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。

方程術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。余如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。

以上是出自《九章算術》中的三元一次方程組，並展示了用「遍乘直除」來消元以解此方程組。

魏晉時期的大數學家劉徽在公元263年前後為《九章算術》作了大量注釋，介紹了方程組：二物者再程，三物者三程，皆如物數程之。並列為行，故謂之方程。他還創立了比「遍乘直除」更簡便的「互乘相消」法來解方程組。

定義

方程是含有未知數的等式，這是小學教材中的邏輯定義，而含未知數的等式嚴格說不一定是方程，如0x=0。方程嚴格定義如下:

形如 是在定義域的交集內研究的兩個解析式，且至少有一個不是常數。

方程與等式的關係

方程一定是等式，但等式不一定是方程。

例子：a+b=13 符合等式，有未知數。這個是等式，也是方程。

1+1=2 ，100×100=10000。這兩個式子符合等式，但沒有未知數，所以都不是方程。

在定義中，方程一定是等式，但是等式可以有其他的，比如上面舉的1+1=2，100×100=10000，都是等式，顯然等式的範圍大一點。

解方程依據

1.移項變號：把方程中的某些項帶着前面的符號從方程的一邊移到另一邊，並且加變減，減變加，乘變除以，除以變乘；

2.等式的基本性質

性質1

等式兩邊同時加(或減)同一個數或同一個代數式，所得的結果仍是等式。用字母表示為：若a=b，c為一個數或一個代數式。則：(1)

性質2

等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數,所得的結果仍是等式。

用字母表示為：若a=b，c為一個數或一個代數式（不為0）。則：

a×c=b×c 或

性質3

若a=b,則b=a（等式的對稱性）。

性質4

若a=b,b=c則a=c（等式的傳遞性）。

解方程步驟

方法一：1.能計算的先計算； 2.轉化——計算——結果

方法二：從前往後算，算到只剩一個數時便可直接計算。

微分方程

微分方程指描述未知函數的導數與自變量之間的關係的方程。微分方程的解是一個符合方程的函數。而在初等數學的代數方程，其解是常數值。詳見微分方程

微分方程是將一些函數與其導數相關聯的數學方程。在應用中，函數通常表示物理量，衍生物表示其變化率，方程定義了兩者之間的關係。因為這種關係是非常常見的，微分方程在包括工程，物理，經濟學和生物學在內的許多學科中起着突出的作用。

在純數學中，微分方程從幾個不同的角度進行研究，主要涉及到它們的解 - 滿足方程的函數集。只有最簡單的微分方程可以通過顯式公式求解;然而，可以確定給定微分方程的解的一些性質而不找到其確切形式。

如果解決方案的自包含公式不可用，則可以使用計算機數值近似解決方案。動力系統理論強調了微分方程描述的系統的定性分析，而已經開發了許多數值方法來確定具有給定精確度的解決方案。

普通微分方程

普通微分方程或ODE是包含一個獨立變量及其導數的函數的方程式。與「偏微分方程」相比，術語「普通」與對於多於一個的獨立變量相關。

具有可以被加上和乘以係數的解的線性微分方程被明確定義和理解，並且獲得精確的閉合形式的解。相比之下，缺乏添加劑解決方案的ODE是非線性的，解決它們是非常複雜的，因為很少以封閉形式的基本函數表示它們：相反，ODE的精確和分析解決方案是串聯或整體形式。通過手動或計算機應用的圖形和數值方法可以近似ODE的解，並且可能產生有用的信息，通常在沒有精確的解析解的情況下就足夠了。

偏微分方程

偏微分方程（PDE）是包含未知多變量函數及其偏導數的微分方程。 （這與處理單個變量及其派生詞的函數的普通微分方程相反）。PDE用於制定涉及幾個變量的函數的問題，或者手動解決或用於創建相關的計算機模型。

PDE可用於描述各種各樣的現象，如聲，熱，靜電，電動力學，流體流動，彈性或量子力學。這些看似不同的物理現象可以在PDE方面類似地形式化。正如普通微分方程常常模擬一維動力學系統一樣，偏微分方程通常模擬多維系統。 PDEs在隨機偏微分方程中找到它們的泛化。

參考來源

微課堂-什麼是方程