对称群
对称群（symmetric group），设X是一个集合（可以是无限集），X上的一个双射：a:X→X（即是置换）。集合X上的所有置换构成的族记为S(x)，S(x)关于映射的复合运算构成了一个群，当X是有限集时，设X中的元素个数为n，则称群S(x)为n次对称群。[1]
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对称群的定义
对称群是指含置换群为子类的一类具体的有限群。有限集合Ω上全体置换组成的群，称为Ω上对称群，记为SΩ或Sym(Ω).由于当|Ω|=|Ω′|=n时，对称群SΩ和SΩ′是置换同构的，所以也把SΩ记为Sn.Sn的阶为n!.一切次数为n的置换群都可以看成Sn的子群.Ω上全体偶置换组成的群称为Ω上的交错群，记为AΩ或Alt(Ω)，或An，若n=|Ω|，则An的阶为n!/2，它是Sn的指数为2的正规子群。Sn，An这两个群在置换群理论和抽象群论中占有特殊的地位。这一方面由于对一切n，Sn是n重传递群，而当n>2时，An是n-2重传递群；另一方面也由于当n≥5时，An为单群，它们是一类重要的有限单群。
设X是一个集合（可以是无限集），X上的一个双射：a:X→X（即是置换）。
集合X上的所有置换构成的族记为S(x)，S(x)关于映射的复合运算构成了一个群，当X是有限集时，设X中的元素个数为n，则称群S(x)为n次对称群。
群
群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。
设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：
(1)封闭性，a·b∈G;
(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。
满足交换律的群，称为交换群。
群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。
1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。
置换群
一类具体的有限群.有限集合到自身的一一映射称为一个置换.有限集合Ω上的一些置换组成的集合，在置换的乘法下所组成的群，称为置换群.此群的阶是有限的.研究置换群的性质和构造的理论称为置换群论.凯莱(Cayley，A.)证明：任何一个有限群都同构于一个置换群.因此，可以把一切有限群都看成置换群.由于置换群比抽象群更为直观，而一些数学对象的自同构群是以置换群的面貌出现的，所以，在历史上对置换群的研究先于对抽象群的研究.著名的伽罗瓦理论就是把高次方程的根式可解性的研究转化成为对置换群的研究的，事实上，伽罗瓦(Galois，E.)本人就曾得到有关置换群的一些深刻定理。
置换群是指由置换组成的群。n元集合Ω={a1，a2，…，an}到它自身的一个一一映射，称为Ω上的一个置换或n元置换。
有限群在其形成时期几乎完全在置换群的形式下进行研究，拉格朗日和鲁菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的关于方程可解性的著作里，引进了n个根的一些函数进行研究，开创了置换群的子群的研究，得到“子群的阶整除群的阶”这一重要结果。鲁菲尼在1799年的专著《方程的一般理论》中，对置换群进行了详细的考察，引进了群的传递性和本原性等概念。在拉格朗日和鲁菲尼工作的影响下，柯西发表了关于置换群的重要文章(1815)。他以方程论为背景，证明了不存在n个字母(n次)的群，使得它对n个字母的整个对称群的指数小于不超过n的最大素数，除非这个指数是2或1。伽罗瓦对置换群的理论做出了最重要的贡献，他引进了正规子群、两个群同构、单群与合成群等概念，发展了置换群的理论。可惜他的工作没有及时为数学界所了解。柯西在1844—1846年间，写了一大批文章全力研究置换群。他把许多已有的结果系统化，证明了伽罗瓦的断言：每个有限(置换)群，如果它的阶可被一个素数p除尽，就必定至少包含一个p阶子群。他还研究了n个字母的函数在字母交换下所能取的形式值(即非数字值)，并找出一个函数，使其取给定数目的值。
置换群的理论(主要指伽罗瓦的工作)在1870年由若尔当整理在他的《置换与代数方程》之中，他本人还发展了置换群理论及其应用。
有限群
循环群的任一直积是有限交换群。反之，任一有限交换群必具有这种形式.特别，其阶为素数的所有有限群皆是循环群。
任一有限群(不一定是交换的)同构于一有限集的置换群的一个子群。人们还没有弄清楚有限群的分类。
非交换的有限群之研究基本上停留在p-群的概念上。这是指其阶为一个素数p的幂的有限群.有限群G的所有最大p-子群叫做G的西罗子群；G的所有西罗p-子群都是共轭的，而它们的公共阶是能整除G的阶的p之最大幂.
具有有限多个元素的群，是群论的重要内容之一。其所含元素的个数，称为有限群的阶。历史上，抽象群论的许多概念起源于有限群论。有限群可分为两大类：可解群与非可解群(即单群)。
有限群的研究起源很早，其形成时期是与柯西、拉格朗日、高斯、阿贝尔以及后来的伽罗瓦、若尔当等人的名字相联系的。如何确定可解群和单群是抽象群理论建立后的一个重要发展方向。德国数学家赫尔德在1889年以后的若干年内，详细地研究了单群和可解群，证明：一个素数阶循环群是单群，n个(n≥5)文字的全部偶置换组成的交换群是单群。他还发现了许多其他有限的单群。赫尔德和若尔当还建立了在有限群中的若尔当—赫尔德合成群列和若尔当—赫尔德定理。在19世纪末，德国数学家弗罗贝尼乌斯、迪克和英国数学家伯恩塞德等都致力于可解群的研究。20世纪初伯恩塞德证明的关于pq(p、q是素数)必是可解群的定理，导致了对有限单群进行分类的重要研究。美国数学家汤普森和菲特在20世纪60年代初证明了有限群中长期悬而未决的一个猜想(见伯恩塞德猜想)：奇数阶群一定是可解群。它推动了有限群理论的发展。有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经过上百名数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的一个非凡成就。
特殊的对称群
正n边形的所有对称变换和对称变换的合成“?”构成它的对称群，叫做二面体群，记作( Dn，? )，里面有2n个元素。
对称群的类型
（1）仅含有恒等变换。
（2）仅含有恒等变换和一个反射变换。
（3）含有n个旋转变换，而没有反射变换。〔这样的对称群叫做循环群〕
（4）含有n个旋转变换和反射变换。〔这样的对称群叫做二面体群〕