婆罗摩笈多定理

婆罗摩笈多定理

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中文名: 婆罗摩笈多定理 外文名: Brahmagupta Theorem 别 名: 布拉美古塔定理 提出者: 婆罗摩笈多 提出时间: 约公元628年 适用领域: 几何 应用学科: 数学

婆罗摩笈多定理, 若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。

如右图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。过M做EF⊥BC于点E，交AD于点F。那么F是AD的中点。

目录

定理定义

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于该四边形一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有另一个名称,叫做"布拉美古塔定理"（又译"卜拉美古塔定理"）。

∵AC⊥BD，ME⊥BC

∴∠CBD= ∠CME

∵∠CBD= ∠CAD，∠CME= ∠AMF

∴∠CAD= ∠AMF

∴AF=MF

∵∠AMD= 90°，同时∠MAD+ ∠MDA= 90°

∴∠FMD= ∠FDM

∴MF=DF

∴AF=DF，即F是AD中点

F是AD中点

定理推广

①若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。

如上图，圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，M是垂足。F是AD中点，则FM⊥BC。

过圆内接四边形两对角线交点做另一边的垂线，必过其对边为一边，以交点为一顶点的三角形的外心。

几何证法

∵MA⊥MD，F是AD中点

∴AF=MF

∴∠CAD= ∠AMF

∵∠CAD= ∠CBD，∠AMF= ∠CME

∴∠CBD= ∠CME

∵∠CME+ ∠BME= ∠BMC=90°

∴∠CBD+ ∠BME= 90°

∴EF⊥BC

②在四边形ABCD中有一点O，若OA•OC=OB•OD且∠AOB+∠COD=π，EF为过O的直线交AD于E交BC于F，则当E为AD中点时，∠EFB＝∠AOB；当∠EFB＝∠AOB时，E为AD中点，在F点上亦有此情形。（广义婆罗摩多定理）

婆罗摩笈多定理及八点圆

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婆罗摩笈多定理

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  婆摩笈多定理 来自搜狐网

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  婆罗摩笈多定理 来自搜狐网

婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家。今天要介绍的是以他的名字命名的定理——婆罗摩笈多定理。

婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点。

定理转化为图形语言就是：ABCD为圆内接四边形，对角线AC和BD垂直相交，交点为E。过点E引AB的垂线EF；延长FE与DC交于点G。则点G是CD的中点。如上图所示。

因为

∠4=∠1（同弧上的同侧圆周角相等）

∠1=∠2（都是∠ABE的余角）

∠2=∠3（对顶角相等）

所以

∠4=∠3

所以，DG=EG。同理，CG=EG。所以DG=CG，即G为DC的中点。证毕。

八点圆

您一定熟悉九点圆，我在以前讲过，您可以在我的公众号下边菜单中找到。今天讲八点圆，即有八个点，它们共圆。

如下图所示，ABCD为圆O（图中绿色）的内接四边形，它的两条对角线AC与BD直交，交点为P。过点P分别作直线与四条边垂直，这四条直线将与四条边交出八个点：四条边上的四个垂足E、F、G、H；四条边的四个中点E'、F'、G'、H'（由于婆罗摩笈多定理），那么，这八个点共圆（图中红色圆O'）。

（1）先看F、H、F'、H'这四点，显然，由垂直关系，角F'FH'和角F'HH'都是直角，所以，F、H、F'、H'四点共圆，且F'H'是直径。同理，E、G、E'、G'四点共圆，且E'G'为直径。下面我们只需证明这两个圆是一个圆即可。

（2）依次连接四边中点，所得当然是一个平行四边形，即图中的E'F'G'H'（蓝色）。但又因为每对相对之边又都分别与互相垂直的对角线平行，所以，平行四边形E'F'G'H'是矩形（蓝色）。矩形对角线相等且互相平分，所以F'H'=E'G'。它们于点O'处互相平分。

（3）因为上面已证F'H'与E'G'为直径，因为它们相等且互相平分，所以这两条直径是同一个圆的两条不同直径。所以，八个点E、F、G、H、E'、F'、G'、H'共圆。